【引入】

对于任意一个方阵，其不一定可逆，但将矩阵逆的概念进行推广，使得任何一个矩阵在某种意义下均可逆，这就是矩阵广义逆的概念

矩阵广义逆有多种定义，其中最广泛应用的一种是 Moore-Penrose 广义逆

【矩阵的最优近似】

F 范数意义下的奇异值分解

奇异值分解是一种矩阵近似的方法，这个近似是在 F 范数意义下对矩阵的最优近似，本质上是进行了数据压缩，紧奇异值分解是在 F 范数意义下的无损压缩，截断奇异值分解是由低秩矩阵实现对原始矩阵的有损压缩

【均方积分的定义】

均方积分

设 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,b]\times U$ 上的普通函数，$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ 是区间 $[a,b]$ 上的任一划分，取 $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$，令 $\Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n} \Delta_k$，则对 $\forall t_k^*\in[t_{k-1},t_k]$，作和式

【均方导数的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若均方极限

存在，则称该极限为 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 点上的均方导数，记为 $X’(t_0)$ 或 $\frac{dX(t)}{dt}\Big|_{t=t_0}$，此时称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导

【均方连续的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方连续

【二阶矩变量】

对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上，具有二阶矩的随机变量称为二阶矩变量，其全体记为 $H$

设 $X_1,X_2\in H$，$a,b$ 为任意常数，则

【二阶矩过程】

若随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的一、二阶矩存在，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程

将普通分析的结果推广到二阶矩过程的场合，即研究二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的连续性、可导性、可积性等，被称为随机分析

【奇异值】

设 $A\in C^{m\times n}$，记非负定 Hermite 阵 $A^HA$ 的 $n$ 个特征值为

称

【Hermite 标准形】

定义

设 $H\in C^{m\times n}$，$\text{rank } H=r>0$，若 $H$ 满足：

【QR 分解】

设 $A\in C^{n\times n}$，若 $A$ 可分解为

其中，$Q$ 为 $n$ 阶酉矩阵，$R$ 为上三角阵，则称 $A$ 可 QR 分解