【均方积分的定义】

均方积分

设 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,b]\times U$ 上的普通函数，$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ 是区间 $[a,b]$ 上的任一划分，取 $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$，令 $\Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n} \Delta_k$，则对 $\forall t_k^*\in[t_{k-1},t_k]$，作和式

【均方导数的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若均方极限

存在，则称该极限为 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 点上的均方导数，记为 $X’(t_0)$ 或 $\frac{dX(t)}{dt}\Big|_{t=t_0}$，此时称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导

【均方连续的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方连续

【二阶矩变量】

对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上，具有二阶矩的随机变量称为二阶矩变量，其全体记为 $H$

设 $X_1,X_2\in H$，$a,b$ 为任意常数，则

【二阶矩过程】

若随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的一、二阶矩存在，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程

将普通分析的结果推广到二阶矩过程的场合，即研究二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的连续性、可导性、可积性等，被称为随机分析

【奇异值】

设 $A\in C^{m\times n}$，记非负定 Hermite 阵 $A^HA$ 的 $n$ 个特征值为

称

【Hermite 标准形】

定义

设 $H\in C^{m\times n}$，$\text{rank } H=r>0$，若 $H$ 满足：

【QR 分解】

设 $A\in C^{n\times n}$，若 $A$ 可分解为

其中，$Q$ 为 $n$ 阶酉矩阵，$R$ 为上三角阵，则称 $A$ 可 QR 分解

【联合分布函数】

在实际应用中，有时需要同时考虑两个或两个以上随机过程的统计特征

例如，某个线性系统的输入是一个随机过程 $\{X(t),t\in T\}$，其输出也是一个随机过程 $\{Y(t),t\in T\}$，那么，此时就要考虑这两个随机过程的联合统计特性

【引入】

随机过程的有限维分布函数族虽然是对随机过程的概率特征的完整描述，但在实际应用中却难以求得

同时，对于某些随机过程，为表征其概率特征，不一定要求出它的有限维分布函数族，只需要求出随机过程的几个表征值即可