矩阵的正交三角分解

【QR 分解】

设 $A\in C^{n\times n}$，若 $A$ 可分解为

$$A=QR$$

其中，$Q$ 为 $n$ 阶酉矩阵，$R$ 为上三角阵，则称 $A$ 可 QR 分解

当 $A$ 为可逆实数矩阵时，QR 分解又称为正交三角分解，此时，$Q$ 为正交阵，$R$ 为实上三角阵

当 $A$ 为可逆复数矩阵时，QR 分解又称为酉三角分解，此时，$Q$ 为酉矩阵，$R$ 为复上三角阵

【QR 分解具体方法】

Householde 矩阵

由于 $A$ 不一定可逆，因此使用 Schmidt 标准正交化方法对 $A$ 进行 QR 分解不一定能进行

在实际应用中，常采用镜像变换

$$H=I_n-2\omega\omega^H,\quad \omega\in C^n,||\omega||_2=1$$

变换矩阵 $H$ 被称为 Householde 矩阵，其具有如下性质：

1. 变换矩阵为酉矩阵：$H^HH=I_n$
2. 变换矩阵为 Hermite 阵：$H^H=H$
3. 变换矩阵为对合阵：$H^2=I_n$

对于给定 $C^n$ 中的单位向量 $\mathbf{e}$，有 $\forall \mathbf{x}\in C^n$，存在复数 $a$ 与 $n$ 阶复 Householde 矩阵 $H$，使得

$$H\mathbf{x}=a\mathbf{e}$$

其中，复数 $a$ 满足条件

$$|a|=||\mathbf{x}||_2$$

且 $a\mathbf{x}^H\mathbf{e}$ 为实数

Householde 进行 QR 分解

设 $A=[B_1,B_2,\cdots,B_n],B_i\in C^{n}$，则存在复数 $a_1$ 与 $n$ 阶 Householde 矩阵 $H_1$，使得

$$H_1B_1=a_1\mathbf{e}_1,\quad \mathbf{e}_1=[1,0,\cdots,0]^T\in C^n$$

从而有

$$H_1A=\begin{bmatrix} a_1 & a_{12}^{(1)} & \cdots & a_{1n}^{(1)} \\ 0 & a_{22}^{(1)} & \cdots & a_{2n}^{(1)} \\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2}^{(1)} & \cdots & a_{nn}^{(1)} \\ \end{bmatrix} \triangleq \left[ \begin{array}{c:ccc} a_1 & a_{12}^{(1)} &\cdots & a_{1n}^{(1)} \\ \hdashline 0 & && \\ \vdots &&A_1& \\ 0 &&& \end{array} \right]$$

设 $A_1=[B_1^{(1)},B_2^{(1)},\cdots,B_{n-1}^{(1)}],B_i^{(1)}\in C^{n-1}$，则存在复数 $a_2$ 与 $n-1$ 阶 Householde 矩阵 $H_{21}$，使得

$$H_{21}B_1^{(1)}=a_2\mathbf{\tilde{e}}_1,\quad \mathbf{\tilde{e}}_1=[1,0,\cdots,0]^T\in C^{n-1}$$

令 $H_2=\begin{bmatrix}1&\\&H_{21}\end{bmatrix}$，则 $H_2$ 仍为酉矩阵，且有

$$H_2H_1A= \left[ \begin{array}{c:ccc} a_1 & a_{12}^{(1)} &\cdots & a_{1n}^{(1)} \\ \hdashline 0 & && \\ \vdots &&H_{21}A_1& \\ 0 &&& \end{array} \right] \triangleq \left[ \begin{array}{cc:ccc} a_1 & a_{12}^{(1)}&a_{13}^{(1)} &\cdots & a_{1n}^{(1)} \\ 0 & a_{2} & a_{23}^{(2)} & \cdots & a_{2n}^{(1)} \\ \hdashline 0 & 0 &&& \\ \vdots&\vdots &&A_2& \\ 0 &0 &&& \end{array} \right]$$

重复以上步骤，即存在一系列酉矩阵 $H_1,H_2,\cdots,H_{n-1}$，使得

$$H_{n-1}\cdots H_1 A=\begin{bmatrix} a_1 & * & \cdots & \cdots & * \\ & a_2 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & &a_{n-1} & * \\ & & & & a_{nn}^{(n-1)} \end{bmatrix} \triangleq R$$

即矩阵 $A$ 有 QR 分解

$$A=H_1\cdots H_{n-1}R\triangleq QR$$

其中，$Q=H_1\cdots H_{n-1}$ 为酉矩阵，$R$ 为上三角阵