随机分析中的均方极限

【二阶矩变量】

对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上，具有二阶矩的随机变量称为二阶矩变量，其全体记为 $H$

设 $X_1,X_2\in H$，$a,b$ 为任意常数，则

$$aX_1+bX_2\in H$$

可得 $H$ 为一线性空间

【均方极限的定义】

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，若有二阶矩变量 $X\in H$，使得

$$\lim_{n\rightarrow \infty} E|X_n-X|^2=0$$

则称二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}$ 均方收敛于 $X$，或称二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}$ 的均方极限为 $X$，记为

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X$$

【均方极限的性质】

唯一性

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量 $X\in H$，且

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X$$

则 $X$ 在概率 $1$ 下是唯一的

期望与方差

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量 $X\in H$，且

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X$$

则

$$\begin{array}{c} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} EX_n=E[\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n]=EX \\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} E|X_n|^2=E[|\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n|^2]=E|X|^2 \\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} DX_n=D[\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n]=DX \\ \end{array}$$

运算法则

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\},\{Y_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量 $X,Y\in H$，且

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X, \quad \underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} Y_n = Y$$

则有：

$$\begin{array}{c} \underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} (aX_n+bY_n) = aX+bY \\ \underset{\begin{align*}n\rightarrow \infty \\ m\rightarrow \infty\end{align*}}{\text{l.i.m }} E[\overline{X_m}Y_n] = E[\overline{X}Y] \end{array}$$

二阶矩变量函数

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量 $X\in H$，且

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X$$

若 $f(u)$ 是一确定性函数，且满足李普西兹（Lipschitz）条件，即

$$|f(u)-f(v)|\leq M|u-v|,\quad M>0$$

则对二阶矩变量函数序列 $\{f(X_n),n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量函数 $f(X)\in H$，使得

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} f(X_n) = f(X)$$

特征函数

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，有二阶矩变量 $X\in H$，且

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} X_n = X$$

则对任意有限的 $t$，有

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} e^{jtX_n} = e^{jtX},\quad j=\sqrt{-1}$$

从而使得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_{X}(t)$$

即二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}$ 的特征函数序列收敛于 $X$ 的特征函数

均方大数定律

若 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$ 是相互独立同分布的随机变量序列，且 $EX_k=\mu$，则

$$\underset{n\rightarrow \infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k = \mu$$

【均方收敛判定准则】

对于已知的二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}$，若想判定该序列是否均方收敛，由于不知道 $X$ 的存在，因此利用均方收敛的定义

$$E[|X_n-X|^2]\rightarrow 0$$

来判定序列收敛是极为困难的，为此，给出如下两个收敛判定准则：

1）Cauchy 准则

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，则该序列均方收敛的充要条件为

$$\lim_{\begin{align*}m\rightarrow\infty\\n\rightarrow\infty\end{align*}} E|X_m-X_n|^2=0$$

2）Loeve 准则

设二阶矩变量序列 $\{X_n,n=1,2,\cdots\}\subset H$，则该序列均方收敛的充要条件为

$$\lim_{\begin{align*}m\rightarrow\infty\\n\rightarrow\infty\end{align*}} E[\overline{X_m}X_n]=c,\quad |c|<+\infty$$

【二阶矩过程的均方极限】

将上述讨论的二阶矩变量序列的均方极限及其性质，推广到连续参数的二阶矩过程上

设二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$，若有二阶矩变量 $X\in H$，以及 $t_0\in T$ 使得

$$\lim_{t\rightarrow t_0} E|X(t)-X|^2=0$$

则称 $t\rightarrow t_0$ 时，$\{X(t),t\in T\}$ 均方收敛于 $X$，或称 $t\rightarrow t_0$ 时，$\{X(t),t\in T\}$ 的均方极限为 $X$，记为

$$\underset{t\rightarrow t_0}{\text{l.i.m }} X(t) = X$$

经过推广后，连续参数的二阶矩过程均方极限的性质与二阶矩变量序列均方极限的性质完全类似

例如，Loeve 准则可表述为：设二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$，$t_0\in T$，则当 $t\rightarrow t_0$ 时，该二阶矩过程均方收敛的充要条件为

$$\lim_{\begin{align*}s\rightarrow t_0\\t\rightarrow t_0\end{align*}} E[\overline{X(s)}X(t)]=c,\quad |c|<+\infty$$