【Hermite 标准形】
定义
设 $H\in C^{m\times n}$，$\text{rank } H=r>0$，若 $H$ 满足：
- $H$ 的前 $r$ 行都是非零行，后 $m-r$ 行全为 $0$
- $H$ 中包含一个 $r$ 阶子单位矩阵 $I_r$，且 $I_r$ 中的元 $1$ 是所在行的首个非零元
则称 $H$ 为 Hermite 标准形
变换矩阵
对于矩阵 $A\in C^{m\times n}$，进行一系列行初等变换，那么可将 $A$ 化为 Hermite 标准形 $H$
由于对 $A$ 进行的行初等变换相当于对 $A$ 左乘一系列初等矩阵，故存在可逆阵 $P$，使得 $PA=H$，即
因此，可采用如下方法来求 $A$ 的 Hermite 标准形与变换矩阵 $P$
等价标准形
上述 Hermite 标准形和变换矩阵是针对矩阵的行进行定义的，对称地，也可对矩阵的列定义 Hermite 标准形
对于矩阵 $A\in C^{m\times n}$，若 $\text{rank }A=r>0$，则存在可逆阵 $P$ 将 $A$ 化为 Hermite 标准形
其中，$H\in C^{n\times n}$，且包含一个 $r$ 阶单位矩阵 $I_r$
对 $PA$ 进行一系列列初等变换后，则存在可逆阵 $Q$，使得
若存在可逆阵 $P,Q$，使得 $A=PBQ$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 是等价的，此时，称上式为 $A$ 的等价标准形
可采用如下方法求变换矩阵 $P,Q$ 以及等价标准形
即对 $A$ 进行行初等变换时，单位阵 $I_m$ 记录了变换矩阵 $P$；对 $A$ 进行列初等变换时，单位阵 $I_n$ 记录了变换矩阵 $Q$
【满秩分解】
满秩矩阵
设 $A\in C^{m\times n}$，若
- $\text{rank }A=m$，则称 $A$ 为行满秩矩阵
- $\text{rank }A=n$，则称 $A$ 为列满秩矩阵
显然，$A$ 为满秩矩阵的充要条件是：$A$ 既行满秩又列满秩
若 $A$ 是行（列）满秩矩阵，其具有如下性质：
- $A^HA$ 的特征值大于 $0$
- $A^HA$ 是正定 Hermite 矩阵
- $A^HA$ 是 $r$ 阶可逆矩阵
满秩分解
设 $A\in C^{m\times n}$，若存在列满秩矩阵 $F$ 与行满秩矩阵 $G$，使得
则称 $A$ 有满秩分解
需要注意的是，$A$ 的满秩分解不是唯一的
满秩分解方法
对于 $A\in C^{m\times n}$，若 $\text{rank }A=r>0$，则 $A$ 必有满秩分解，具体分解步骤如下：
1）对 $A$ 进行行初等变换，求出 $A$ 的 Hermite 标准形 $H$
2）设 $H$ 中单位子矩阵 $I$，所在列为 $i_1,i_2,\cdots,i_r$，由于对 $A$ 进行初等行变换不会影响 $A$ 列向量间的线性组合关系，易得 $A$ 的最大无关列为
故列满秩矩阵可取为
3）由于 $Q^{-1}$ 是 $Q$ 的逆置换，故
恰好为 $A$ 的 Hermite 标准形 $H$ 的前 $r$ 行构成的矩阵
例如：
对 $A$ 进行初等变换，将 $A$ 化为 Hermite 标准形 $H$
由于 $i_1=1,i_2=3$，故取 $A$ 的一、三列构成列满秩矩阵 $F$，再取 $H$ 的第一、二行构成行满秩矩阵 $G$，故
