【复平稳过程的谱分解】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是零均值均方连续的平稳过程，其谱函数为 $F_X(\omega)$，则

称为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的随机谱函数，其中

【相关函数的谱密度】

平稳过程的相关函数可视为一表示位移的时间函数，在时域上描述了随机过程的统计特征，因此，对于平稳过程的相关函数，利用 Fourier 分析的方法进行研究，便可在频域上描述平稳过程的统计特征，进而得到平稳过程谱密度这一概念

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是均方连续的平稳过程，则其相关函数

【时间平均与时间相关函数】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，若下列均方极限存在

则称该均方极限是平稳过程在 $(-\infty,+\infty)$ 上的时间平均

【严平稳过程】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对任意的 $n\geq 1$ 和任意的 $t_1,t_2,\cdots,t_n\in T$ 以及使 $t_1+\tau,t_2+\tau,\cdots,t_n+\tau\in T$ 的任意实数 $\tau$，$n$ 维随机向量 $(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))$ 和 $(X(t_1+\tau),X(t_2+\tau),\cdots,X(t_n+\tau))$ 有相同的联合分布函数，即

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是严平稳过程，或称 $\{X(t),t\in T\}$ 具严平稳性

【矩阵直积】

定义

设 $A=[a_{ij}]\in C^{m\times n},B\in C^{p\times q}$，则对于矩阵 $A$ 与矩阵 $B$，称

【引入】

对于任意一个方阵，其不一定可逆，但将矩阵逆的概念进行推广，使得任何一个矩阵在某种意义下均可逆，这就是矩阵广义逆的概念

矩阵广义逆有多种定义，其中最广泛应用的一种是 Moore-Penrose 广义逆

【矩阵的最优近似】

F 范数意义下的奇异值分解

奇异值分解是一种矩阵近似的方法，这个近似是在 F 范数意义下对矩阵的最优近似，本质上是进行了数据压缩，紧奇异值分解是在 F 范数意义下的无损压缩，截断奇异值分解是由低秩矩阵实现对原始矩阵的有损压缩

【均方积分的定义】

均方积分

设 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,b]\times U$ 上的普通函数，$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ 是区间 $[a,b]$ 上的任一划分，取 $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$，令 $\Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n} \Delta_k$，则对 $\forall t_k^*\in[t_{k-1},t_k]$，作和式

【均方导数的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若均方极限

存在，则称该极限为 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 点上的均方导数，记为 $X’(t_0)$ 或 $\frac{dX(t)}{dt}\Big|_{t=t_0}$，此时称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导

【均方连续的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方连续