二阶矩过程与随机分析

【二阶矩过程】

若随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的一、二阶矩存在，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程

将普通分析的结果推广到二阶矩过程的场合，即研究二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的连续性、可导性、可积性等，被称为随机分析

由二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的定义可知，其均值函数、相关函数总是存在的，进而它的其他数字特征也都存在，其相关函数具有如下性质：

• 共轭对称性：$\overline{R_X(s,t)}=R_X(t,s),\:s,t\in T$
• 非负定性：对 $\forall n\geq 1$，以及 $\forall t_1,t_2,\cdots,t_n\in T$ 和任意的复数 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，有

$$\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n R_X(t_k,t_l)\overline{\lambda_k}\lambda_l\geq 0$$

【正态过程】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对 $\forall n\geq 1$ 以及 $\forall t_1,t_2,\cdots,t_n\in T$，$(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))$ 是 $n$ 维正态随机向量，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 为正态过程，或高斯过程

显然，正态过程是一种二阶矩过程，其有限维分布函数由其均值函数和协方差函数确定

在实际应用中，有时要考虑正态过程的均方导数和均方不定积分的分布，这部分的研究被称为正态过程的随机分析

【Wiener 过程】

Wiener 过程来源于物理学中对布朗运动的一种描述，常被用于电路中热噪声的研究

对于实随机过程 $\{W(t),t\in T\}$，若

1. $W(0)=0$
2. $\{W(t),t\in T\}$ 是平稳的独立增量过程
3. $\forall 0\leq s<t$，有 $W(t)-W(s)\sim N(0,\sigma^2(t-s))$

则称 $\{W(t),t\in T\}$ 是参数为 $\sigma^2$ 的 Wiener 过程，显然，Wiener 过程是一种正态过程

对于参数为 $\sigma^2$ 的 Wiener 过程 $\{W(t),t\in T\}$，有：

• 服从正态分布：$\forall t>0$，$W(t)\sim N(0,\sigma^2t)$
• 均值函数：$\mu_W(t)=0,\:t\geq0$
• 方差函数：$\sigma_{W}(t)=\sigma^2t,\: t\geq0$
• 协方差函数与相关函数：$R_W(s,t)=C_W(s,t)=\sigma^2\min(s,t),\:s,t\geq0$