随机分析中的均方积分

【均方积分的定义】

均方积分

设 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,b]\times U$ 上的普通函数，$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ 是区间 $[a,b]$ 上的任一划分，取 $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$，令 $\Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n} \Delta_k$，则对 $\forall t_k^*\in[t_{k-1},t_k]$，作和式

$$\sum_{k=1}^n f(t_k^*,u)X(t_k^*)\Delta t_k\in H$$

若均方极限

$$Y(u)=\underset{\Delta \rightarrow 0}{\text{l.i.m }} \sum_{k=1}^n f(t_k^*,u)X(t_k^*)\Delta t_k$$

存在，且该极限不依赖于对 $[a,b]$ 的分法以及 $t_k^$ 的取法，则称 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积，其均方极限 $Y(u)$ 称为 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上的*均方积分，即有

$$Y(u)=\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt,\quad u\in U$$

此时，称 $\{Y(u),u\in U\}$ 为 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上的均方积分过程

特别地，当 $f(t,u)=1$ 时，$\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上的均方积分为一二阶矩变量，即

$$Y=\int_a^b X(t)dt$$

广义均方积分

设 $\{X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,+\infty]\times U$ 上的普通函数，若对 $\forall b>a$，有 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积，且均方极限

$$\underset{b \rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }}\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt$$

存在，则称 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 在 $[a,+\infty]$ 上广义均方可积，该均方极限称为 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 在 $[a,+\infty]$ 上的广义均方积分，即有

$$\int_{a}^{+\infty} f(t,u)X(t)dt=\underset{b \rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }}\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt$$

类似地，可定义

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{b} f(t,u)X(t)dt=\underset{a \rightarrow -\infty}{\text{l.i.m }}\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t,u)X(t)dt=\underset{ \begin{align*}a \rightarrow -\infty\\b\rightarrow +\infty\end{align*}}{\text{l.i.m }}\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt \\ \end{align*}$$

【均方可积准则】

设 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,b]\times U$ 上的普通函数，则 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积的充要条件是：下列二重积分存在

$$\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,u)R_X(s,t)dsdt$$

设 $\{X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 是二阶矩过程，$f(t,u)$ 是 $[a,+\infty]\times U$ 上的普通函数，称 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,+\infty]\}$ 在 $[a,+\infty]$ 上广义均方可积的充要条件是：下列二重积分存在

$$\int_a^{+\infty}\int_a^{+\infty}\overline{f(s,u)}f(t,u)R_X(s,t)dsdt$$

【均方积分的性质】

对于二阶矩过程 $\{X(t),t\in [a,b]\}$，其有如下性质：

1）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方连续，则 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积

2）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积，则其均方积分在概率 $1$ 下是唯一的

3）若二阶矩过程 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 和 $\{g(t,u)Y(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上都均方可积，则对任意常数 $\alpha,\beta$，$\{\alpha f(t,u)X(t)+\beta g(t,u)Y(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上也均方可积，且

$$\int_{a}^b (\alpha f(t,u)X(t)+\beta g(t,u)Y(t))dt=\alpha\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt+\beta\int_{a}^b g(t,u)Y(t)dt$$

4）若二阶矩过程 $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积，对 $\forall c,a<c<b$， $\{f(t,u)X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上也均方可积，且

$$\int_{a}^b f(t,u)X(t)dt=\int_{a}^c f(t,u)X(t)dt+\int_{c}^b f(t,u)X(t)dt$$

【均方积分过程的数字特征】

对于均方积分过程 $\{Y(u),u\in U\}$，二重积分

$$\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,u)R_X(s,t)dsdt$$

存在，那么 $\{Y(u),u\in U\}$ 的数字特征为：

1）均值函数

$$\mu_Y(u)=\int_a^bf(t,u)\mu_X(t)dt,\quad u\in U$$

2）方差函数

$$\sigma_Y(u)=\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,u)C_X(s,t)dsdt,\quad u\in U$$

3）协方差函数

$$C_Y(u,v)=\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,v)C_X(s,t)dsdt,\quad u,v\in U$$

4）相关函数

$$R_Y(u,v)=\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,v)R_X(s,t)dsdt,\quad u,v\in U$$

5）均方值函数

$$\Phi_Y(u)=\int_a^b\int_a^b\overline{f(s,u)}f(t,u)R_X(s,t)dsdt,\quad u\in U$$

【均方不定积分】

设二阶矩过程 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方连续，令

$$Y(t)=\int_{a}^t X(s)ds,\quad t\in [a,b]$$

则称 $\{Y(t),t\in [a,b]\}$ 为 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上的均方不定积分

进一步，若 $\{X(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方连续，则其均方不定积分 $\{Y(t),t\in [a,b]\}$ 在 $[a,b]$ 上均方可导，且

$$\begin{align*} &P(Y'(t)=X(t)) = 1\\ \mu_Y(t)=&\int_a^t \mu_X(s) ds,\quad t\in [a,b] \\ R_Y(s,t)=&\int_a^s \int_a^t R_X(u,v)dudv,\quad s,t\in[a,b] \end{align*}$$