【均方导数的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若均方极限

$\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\text{l.i.m }} \frac{X(t_0+\Delta t)-X(t_0)}{\Delta t}$

存在，则称该极限为 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 点上的均方导数，记为 $X’(t_0)$ 或 $\frac{dX(t)}{dt}\Big|_{t=t_0}$，此时称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导

进一步，若 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $T$ 上的每一点 $t$ 处均可导，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $T$ 上均方可导，或称 $\{X(t),t\in T\}$ 是均方可导的，此时 $\{X(t),t\in T\}$ 的均方导数是一个新的二阶矩过程，记为 $\{X’(t),t\in T\}$，其是 $\{X(t),t\in T\}$ 的导数过程

若 $\{X(t),t\in T\}$ 的导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 均方可导，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 二阶均方可导，进而 $\{X(t),t\in T\}$ 的二阶均方导数仍为一个新的二阶矩过程，记为 $\{X’’(t),t\in T\}$

类似地，可定义 $\{X(t),t\in T\}$ 的高阶导数过程 $\{X^{(n)}(t),t\in T\}$

此外，若 $\{W(t),t\in T\}$ 是参数为 $\sigma^2$ 的 Wiener 过程，若其均方可导，则其导数过程为

$\{W'(t),t\in T\}$

也被称为参数为 $\sigma^2$ 的白噪声过程

【均方可导准则】

广义二阶可导

设 $f(s,t)$ 是普通二元函数，若下列极限存在

$\lim_{\begin{align*}h\rightarrow 0\\k\rightarrow 0\end{align*}}\frac{f(s+h,t+k)-f(s+h,t)-f(s,t+k)+f(s,t)}{hk}$

则称 $f(s,t)$ 在 $(s,t)$ 处广义二阶可导，并称该极限为 $f(s,t)$ 在 $(s,t)$ 处的广义二阶导数

根据普通二元函数广义二阶可导的定义，对于二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_X(s,t)$ 广义二阶可导的条件为：

充分条件：$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且连续
必要条件：$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数存在，二阶混合偏导数存在且相等

二阶矩过程均方可导的条件

根据均方可导的定义与均方收敛准则，二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ ，在 $t_0\in T$ 处可导的充要条件是：$R_X(s,t)$ 在 $(t_0,t_0)$ 处广义二阶可导

进一步，有：二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导的充要条件为 $\forall t\in T$，$R_X(s,t)$ 在 $(t,t)$ 处广义二阶可导

结合二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_X(s,t)$ 广义二阶可导的条件，有以下推论：

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，则

1）$\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导的充分条件是：$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数在 $(t_0,t_0)$ 处存在，二阶混合偏导数在 $(t_0,t_0)$ 处存在且连续

2）$\{X(t),t\in T\}$ 均方可导的充分条件是：对 $\forall t\in T$，$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数在 $(t,t)$ 处存在，二阶混合偏导数在 $(t,t)$ 处存在且连续

3）$\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方可导的必要条件是：$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数在 $(t_0,t_0)$ 处存在，二阶混合偏导数在 $(t_0,t_0)$ 处存在且相等

4）$\{X(t),t\in T\}$ 均方可导的必要条件是：对 $\forall t\in T$，$R_X(s,t)$ 关于 $s$ 和 $t$ 的一阶偏导数在 $(t,t)$ 处存在，二阶混合偏导数在 $(t,t)$ 处存在且相等

原过程与导数过程

设二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，则：

1）导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 的均值函数等于原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均值函数的导数，即

$\mu_X(t)=\mu_X'(t),\quad t\in T$

2）导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 和原过程的互相关函数 $R_{X’X}(s,t)$ 等于原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_{X}(s,t)$ 关于 $s$ 的偏导数，即

$R_{X'X}(s,t)=\frac{\partial}{\partial s}R_X(s,t),\quad s,t\in T$

3）原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 和导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 的互相关函数 $R_{XX’}(s,t)$ 等于原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_{X}(s,t)$ 关于 $s$ 的偏导数，即

$R_{XX'}(s,t)=\frac{\partial}{\partial s}R_X(s,t),\quad s,t\in T$

4）导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_{X’}(s,t)$ 等于原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的相关函数 $R_{X}(s,t)$ 的二阶混合偏导数，即

$R_{X'}(s,t)=\frac{\partial^2}{\partial s\partial t} R_X(s,t)= \frac{\partial^2}{\partial t\partial s} R_X(s,t),\quad s,t\in T$

若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ $n$ 阶均方可导，则 $n$ 阶导数过程 $\{X^{(n)}(t),t\in T\}$ 的均值函数等于原过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的 $n$ 阶导数，即

$\mu_{X^{(n)}}(t)=\mu_X^{(n)}(t),\quad t\in T$

【均方导数的性质】

对于二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$，其有如下性质：

1）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，则 $\{X(t),t\in T\}$ 均方连续

2）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，则其均方导数在概率 $1$ 下是唯一的

3）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 和 $\{Y(t),t\in T\}$ 都均方可导，对于任意常数 $a,b$，$\{aX(t)+bY(t),t\in T\}$ 也均方可导，即

$(aX(t)+bY(t))'=aX'(t)+bY'(t)$

4）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，$f(t)$ 是 $T$ 上普通可导函数，则 $\{f(t)X(t),t\in T\}$ 均方可导，且

$(f(t)X(t))'=f'(t)X(t)+f(t)X'(t)$

5）若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，且 $\forall t\in T,X’(t)=0$，则 $X(t)$ 以概率 $1$ 为常值随机变量

Alex_McAvoy

随机分析中的均方导数