随机分析中的均方连续

【均方连续的定义】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，若

$$\underset{t\rightarrow t_0}{\text{l.i.m }} X(t) = X(t_0)$$

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方连续

对 $\forall t\in T$，若 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t$ 处都均方连续，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $T$ 上均方连续，或称 $\{X(t),t\in T\}$ 是均方连续的

【均方连续准则】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，$t_0\in T$，其相关函数为 $R_X(s,t)$，则 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t_0$ 处均方连续的充要条件是：$R_X(s,t)$ 在 $(t_0,t_0)$ 处连续，即

$$\lim_{\begin{align*}s\rightarrow t_0\\t\rightarrow t_0\end{align*}} R_X(s,t)=R_X(t_0,t_0)$$

进一步，二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $T$ 上均方连续的充要条件是：对 $\forall t\in T$，$R_X(s,t)$ 在 $(t,t)$ 处连续

【均值函数与方差函数】

若二阶矩过程 $\{X(t),t\in T\}$ 是均方连续的，则其均值函数与方差函数也是连续函数，即

$$\begin{array}{c} \lim\limits_{t\rightarrow t_0} \mu_X(t)=\mu_X(t_0) \\ \lim\limits_{t\rightarrow t_0} \sigma_X(t)=\sigma_X(t_0) \end{array}$$