【关系数据结构的形式化定义】
关系模型的数据结构十分简单，在用户角度来看关系模型中数据的逻辑结构只是一张二维表，虽然简单，但却能表示现实世界中实体以及实体间的各种联系，在 数据库关系模型 中，已经介绍了关系模型与其基本概念，但关系模型实质上是建立在集合代数基础上的，这里从集合论角度，给出关系数据结构的形式化定义
域
域（Domain）是一组具有相同数据类型的值的集合，例如整数、实数、某个取值范围内的数等等，都是一个域
一个域允许的不同取值个数称为这个域的基数，对于一个域 $D$，其基数记为 $m$
例如，某个域 D = {1, 2, 4, 8}，其基数 m = 4
笛卡尔积
笛卡尔积（Cartesian Product）是域上的一种集合运算，是所有域的所有取值的不可重复的组合
其数学定义如下：
给定一组域 $D_1,D_2,…,D_n$，并允许这些域中某些域是相同的，则这些域的笛卡尔积为
其中，笛卡尔积的每一个元素 $(d_1,d_2,…,d_n)$ 称为一个 n 元组（n-tuple），元组 $(d_1,d_2,…,d_n)$ 中的每一个值 $d_i$ 称为一个分量
若 $D_i$ 为有限集，其基数为 $m_i$，则笛卡尔积的基数为
举例来说，假如给出三个域：教师集合 THACHER={a,b}，学生集合STUDENTS={1,2,3}，专业集合 MAJORS={P,Q}
则 THACHER, STUDENTS, MAJORS 的笛卡尔积为
其中，笛卡尔积 THACHER x STUDENTS x MAJORS 中的每一个元素 (a, 1, P)、(a, 2, P) 等，都是一个元组；组中的每一个值 a、3、Q 等，都是一个分量，该笛卡尔积的基数为 M = 2*3*2 = 12
笛卡尔积可表示为一个二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域，上例的笛卡尔积就可表示为下表
| THACHER | STUDENTS | MAJORS |
|---|---|---|
| a | 1 | P |
| a | 1 | Q |
| a | 2 | P |
| a | 2 | Q |
| a | 3 | P |
| a | 3 | Q |
| b | 1 | P |
| b | 1 | Q |
| b | 2 | P |
| b | 2 | Q |
| b | 3 | P |
| b | 3 | Q |
关系
笛卡尔积是没有实际意义的，其某个子集才有实际含义，一个子集称为一个关系（Relation），由于关系是笛卡尔积的子集，因此关系也是一张二维表，表中的每行对应一个元组，每列对应一个域，由于域可以相同，为进行区分，对每列起一个名字，称为属性（Attribute）
对于笛卡尔积 $D_1 \times D_2 \times … \times D_n$ ，其子集 $R(D_1,D_2,…,D_n)$ 为该笛卡尔积的关系，其中 $R$ 为关系名，$n$ 为关系的目或度（Degree），关系中每个元素是关系中的元组（Tuple），常用 $t$ 来表示
当关系的度 $n=1$ 时，称该关系为一元关系，当 $n=2$ 时，称该关系为二元关系
根据定义，关系可以是一个无限集合，而且由于组成笛卡尔积的域不满足交换律（$(d_1,d_2) \neq (d_2,d_1)$），因此当关系作为关系模型的数据结构时，需要给予如下的限定与扩充：
- 无限关系在数据库系统中无意义，限定关系模型中的关系必须是有限集合
- 通过位关系的每个列附加一个属性名将关系属性的有序性取消
同时，在引入关系后，有如下定义：
- 码（Key）：又称为键，用于确定关系表中某一元组的
- 候选码（Candidate key）：对于关系中的某一属性组，其值能够唯一标识一个元组，而其子集不能
- 主码（Primary key）：对于候选码，选定其中一个用于唯一标识一个元组（候选码唯一时该候选码即为主码）
- 主属性（Primary attribute）：候选码的各属性
- 非主属性（no-prime attribute）：不包含在任何候选码中的属性
- 全码（All-key）：最极端的情况下，关系模式的所有属性组是这个关系的候选码（最简单的情况下，候选码仅包含一个属性）
以上述的三个域教师集合 THACHER={a,b}，学生集合STUDENTS={1,2,3}，专业集合 MAJORS={P,Q} 产生的笛卡尔积为例
许多元组是没有实际意义的，因为在许多学校的研究生培训制度中，一个教师仅教授一门课，且一个学生只能跟着一个导师学习某个专业，故而其中的某一个子集才是有实际意义的，才能表示清楚某些导师与学生的关系
如下表所示，将该关系取名为 TSM，表示 老师a 带领 学生1 和 学生2 学习 专业P，老师b 带领 学生3 学习 专业Q
| THACHER | STUDENTS | MAJORS |
|---|---|---|
| a | 1 | P |
| a | 2 | P |
| b | 3 | Q |
如上所示，该关系可以表示为 TSM(T, S, C)，关系名 R = TSC，关系的度 n = 3，属性即为三个域的域名，假设学生姓名不会重复，那么 STUDENTS 属性的每一个值都唯一标识了一个元组，可作为 TSC 关系的候选码，同时也为主码，此外，STUDENTS 属性为主属性，THACHER 属性和 MAJORS 为非主属性
【关系类型】
关系有三种类型：
- 基本关系（基本表）：实际存在的表，其是实际存储数据的逻辑表示
- 查询表：查询结果对应的表，其是根据要求对基本关系进行查询得到的结果
- 视图表：由基本表或其他视图导出的表，是一种虚拟的表，不对应实际存储的数据
可以发现，在三类关系中，基本关系是最基本也是最核心的关系，其具有以下性质：
- 列是同质的（Homogeneous）：每列中的分量是同一类型的数据，来自同一域
- 不同的列可出自同一域，其中每一列称为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名
- 列的次序可任意交换（在实际应用中，增加新属性时往往插入到最后一列）
- 任意两元组的候选码不能相同，以保证可以唯一标识元组
- 行的次序可任意交换
- 分量必须取原子值：每一分量是不可再分的数据项
在 关系模型 中，已经介绍了关系模型要求规范化，规范条件最基本的一条就是关系的每一分量必须取原子值，规范化的关系称为范式（Normal Form，NF），详见：范式
【关系模式】
在任何一个数据库中，都要区分型和值，对于关系数据库来说，型就是关系模式，是对关系数据库的描述，其包括若干域的定义、这些域之上定义的若干关系模式；值就是关系模式在某一时刻对应的关系的集合，简称为**关系数据库
关系模式（Relation schema）包含元组集合的结构（属性构成、属性来自的域、属性与域之间的映象关系）、元组语义及完整性约束条件、属性间的数据依赖关系集合，其可表示为：$R(U,D,DOM,F)$
其中，$R$ 是关系名，$U$ 是组成该关系的属性名集合，$D$ 是 $U$ 中属性来自的域，$DOM$ 是属性到域的映射集合（常常直接说明为属性的类型、长度），$F$ 是属性间数据的依赖关系集合
关系模型通常简记为：$R(U)$ 或 $R(A_1,A_2,…,A_n)$，其中 $A_i$ 为第 $i$ 个属性的属性名
