随机过程的分布函数与特征函数

【分布函数】

无论随机过程属于哪一类，均需要找出它的统计特性，才能讨论它的性质，研究统计特性的一种方法，就是求该随机过程的有限维分布函数族，在引入有限维分布函数族前，首先给出随机分布随机函数的定义

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是随机过程，对于任意固定的 $t\in T$，$X(t)$ 是一随机变量，称

$$F(t;x)=P(X(t)\leq x),\quad x\in R,t\in T$$

为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的一维分布函数

对于任意固定的 $t_1,t_2\in T$，$X(t_1),X(t_2)$ 是两个随机变量，称

$$F(t_1,t_2;x_1,x_2)=P(X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2),\quad x_1,x_2\in R,t_1,t_2\in T$$

为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的二维分布函数

推广到 $n$ 维，对于任意固定的 $t_1,\cdots,t_n\in T$，$X(t_1),\cdots,X(t_n)$ 是 $n$ 个随机变量，称

$$F(t_1,\cdots,t_n;x_1,\cdots,x_n)=P(X(t_1)\leq x_1,\cdots,X(t_n)\leq x_n),\quad x_i\in R,t_i\in T$$

为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的 $n$ 维分布函数

【有限维分布函数族】

在有了随机过程分布函数的概念后，即可给出随机过程有限维分布函数族的概念

设 $\{X(t),t\in T\}$ 为一随机过程，其是一维分布函数、二维分布函数、$\cdots$、$n$ 维分布函数的全体，即

$$F=\{F(t_1,\cdots,t_n;x_1,\cdots,x_n),x_i\in R,t_i\in T,i=1,2,\cdots,n\}$$

称为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的有限维分布函数族

那么，如果知道了随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的 $n$ 维分布函数全体，即可知道随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 中任意 $n$ 个随机变量的联合分布

进一步，如果知道了随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的有限维分布函数族，即可知道随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 中任意有限个随机变量的联合分布，从而确定它们间的相互关系

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随机过程的有限维分布函数族具有以下两性质

1）对称性：设 $i_1i_2\cdots i_n$ 是 $1,2,\cdots,n$ 的任一排列，则

$$F(t_{i_1},t_{i_2},\cdots,t_{i_n};x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_n}) = F(t_1,t_2,\cdots,t_n;x_1,x_2,\cdots,x_n)$$

2）相容性：设 $m<n$，则

$$F(t_1,\cdots,t_m;x_1,\cdots,x_m) = F(t_1,\cdots,t_m,t_{m+1},\cdots,t_n;x_1,\cdots,x_m,+\infty,\cdots,+\infty)$$

【特征函数】

在概率论中，研究随机变量的统计特性除使用分布函数外，另一重要的方法就是通过特征函数，且随机变量的分布函数与特征函数有意义对应的关系

那么，在随机过程中，也可通过随机过程的有限维特征函数来研究随机过程的统计特性

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，对任意固定的 $t_1,\cdots,t_n\in T$，$X(t_1),\cdots,X(t_n)$ 是 $n$ 个随机变量，称

$$\begin{align*} & \varphi(t_1,\cdots,t_n;u_1,\cdots,u_n) \\ =& E\big\{ \exp\big[ j(u_1X(t_1)+\cdots+u_nX(t_n)) \big]\big\} \\ =& \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\big[ j(u_1X(t_1)+\cdots+u_nX(t_n)) dF(t_1,\cdots,t_n;x_1,\cdots,x_n) \\ & u_i\in \mathbb{R},\quad t_i\in T,\quad i=1,2,\cdots,n,\quad j=\sqrt{-1} \end{align*}$$

为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的 $n$ 维特征函数，称

$$\Phi=\{ \varphi(t_1,\cdots,t_n;u_1,\cdots,u_n),u_i\in\mathbb{R},t_i\in T,i=1,2,\cdots,n,n\in N \}$$

为随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 的 有限维特征函数族