【随机过程的定义】
随机过程是概率论的继续与发展，其研究对象是随时间演变的随机现象
从数学的角度来说，就是事物的变化过程无法用一个或几个由时间 $t$ 来确定的函数进行描绘，也就是说，对事物变化的过程进行一次观察，得到的结果是一个关于时间 $t$ 的函数，但对同一事物的变化过程独立地进行多次观察，得到的结果是不同的
随机过程被定义为一族二元函数，设 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 是一概率空间，$T$ 是一个实参数集，对于定义在 $\Omega$ 与 $T$ 上的二元函数 $X(\omega,t)$，若对任意固定的 $t\in T$，$X(\omega,t)$ 是 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上的随机变量，则称
为概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 上的随机过程，记为 $\{X(t),t\in T\}$
固定 $\omega=\omega_0\in\Omega$，此时，$X(t)$ 是定义在 $T$ 上的一个不再具有随机性的普通函数，记为 $x(t)$，称为随机过程的一个样本函数，其图像是随机过程的一条样本曲线
固定 $t=t_0\in T$，此时 $X(t)$ 在 $t_0$ 的数值为 $X(t_0)$，第一次试验值为 $x_1(t_0)$，第二次试验值为 $x_2(t_0)$，以此类推，显然 $X(t)$ 是一个随机变量，由此，存在如下定义：
设 $\{X(t),t\in T\}$ 是随机过程，则当 $t$ 固定时，$X(t)$ 是一个随机变量，其是随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 在 $t$ 时刻的状态
随机变量 $X(t)$（$t$ 固定且 $t\in T$）所有可能的取值构成的集合被称为随机过程的状态空间，记为 $S$
【随机过程的类型】
根据参数集 $T$ 和状态空间 $S$ 是离散集还是连续集，可分为以下四类
1）离散参数、离散状态
参数集 $T$ 是离散的，对于固定的 $t\in T$，$X(t)$ 是离散型随机变量
考虑投掷一颗骰子的试验，设 $X_n$ 是第 $n$ 次投掷的点数，对于 $n=1,2,\cdots$ 的不同值，$X_n$ 是不同的随机变量
因而 $\{X_n,n\geq 1\}$ 构成一随机过程，称为伯努利过程，其参数集为 $T=\{1,2,\cdots\}$，状态空间为 $S=\{1,2,\cdots,6\}$
2）离散参数、连续状态
参数集 $T$ 是离散的，对于固定的 $t\in T$，$X(t)$ 是连续型随机变量
设 $X_n,n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ 是相互独立且同分布服从标准正态分布的随机变量，则 $\{X_n,n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$ 为一随机过程，其参数集为 $T=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$，状态空间为 $S=(-\infty,+\infty)$
3）连续参数、离散状态
参数集 $T$ 是连续的，对于固定的 $t\in T$，$X(t)$ 是离散型随机变量
设 $X(t)$ 为在 $[0,t]$ 期间内到达服务点的顾客数，对于 $t\in [0,+\infty)$ 的不同值，$X(t)$ 是不同的随机变量，则 $\{X(t),t\geq 0\}$ 构成一随机过程，其参数集为 $T=[0,+\infty)$，状态空间为 $S=\{0,1,2,\cdots\}$
4）连续参数、连续状态
参数集 $T$ 是连续的，同时对于固定的 $t\in T$，$X(t)$ 是连续型随机变量
设 $X(t)=A\cos (\omega t+\varphi),-\infty
