平稳过程的各态历经性

【时间平均与时间相关函数】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，若下列均方极限存在

$$<X(t)>=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T X(t)dt$$

则称该均方极限是平稳过程在 $(-\infty,+\infty)$ 上的时间平均

若对于固定的 $\tau$，下列均方极限存在

$$<\overline{X(t)}X(t+\tau)>=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T \overline{X(t)}X(t+\tau)dt$$

则称 $<\overline{X(t)}X(t+\tau)>$ 是 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 在在 $(-\infty,+\infty)$ 上的时间相关函数

从定义上来看，平稳过程的时间平均是随机变量，时间相关函数是一族随机变量

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在实际应用中，通常只考虑定义在 $[0,+\infty)$ 上的平稳过程，那么平稳过程的时间平均和时间相关函数有相应的下述形式

设 $\{X(t),t\geq 0\}$ 是平稳过程，则其时间平均为：

$$<X(t)>=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{T} \int_{0}^T X(t)dt$$

对于固定的 $\tau$，时间相关函数为：

$$<\overline{X(t)}X(t+\tau)>=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{T} \int_{0}^T \overline{X(t)}X(t+\tau)dt$$

【各态历经性】

在实际应用中，确定随机过程的均值函数和相关函数是十分重要的，但要确定随机过程的数字特征，一般需要知道过程的一、二维分布，而这需要对一个过程进行大量的重复试验，有时这难以做到

由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，那么一个自然而然的问题就是：能否从一个时间范围内观察到的一个样本函数，或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征？

如果能从随机过程的一个样本函数中获得其各种统计特性，那么称该特性为各态历经性，具有各态历经性的随机过程只需要一个样本函数，即可表示出它的数字特征

下面给出相关的定义：

1）设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，若时间平均

$$<X(t)> =\mu_X$$

以概率 $1$ 成立，则称 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的均值具有各态历经性

2）设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，若对任意实数 $\tau$，时间相关函数

$$<\overline{X(t)}X(t+\tau)>=R_X(\tau)$$

以概率 $1$ 成立，则称 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数具有各态历经性

3）若平稳过程 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 具有各态历经性，或称 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 为各态历经过程

【均值各态历经性的判定】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-2T}^{2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})C_X(\tau)d\tau =0$$

进一步，若 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是实平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{2T}(1-\frac{\tau}{2T})C_X(\tau)d\tau =0$$

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对于定义在 $[0,+\infty)$ 上的平稳过程 $\{X(t),t\geq 0\}$，其均值具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}(1-\frac{|\tau|}{T})C_X(\tau)d\tau =0$$

进一步，若 $\{X(t),t\geq 0\}$ 是实平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{2}{T} \int_{0}^{T}(1-\frac{\tau}{T})C_X(\tau)d\tau =0$$

【相关函数各态历经性的判定】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是平稳过程，令

$$Y(t)=\overline{X(t)}X(t+\tau),\quad -\infty<t,\tau<+\infty$$

则 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数，就是 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的均值函数，即

$$R_X(\tau)=\mu_Y(t)$$

因此，要讨论 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 相关函数各态历经性，只需研究 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的均值各态历经性即可

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 都是平稳过程，则 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-2T}^{2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})(R_Y(u)-|R_X(\tau)|^2)du =0$$

进一步，若 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 都是实平稳过程，则 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{2T}(1-\frac{u}{2T})(R_Y(u)-(R_X(\tau)^2)du =0$$

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对于定义在 $[0,+\infty)$ 上的平稳过程 $\{X(t),t\geq 0\}$ 和 $\{Y(t),t\geq 0\}$，$\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{T}(1-\frac{|u|}{T})(R_Y(u)-|R_X(\tau)|^2)du =0$$

进一步，若 $\{X(t),t\geq 0\}$ 和 $\{Y(t),t\geq 0\}$ 都是实平稳过程，则 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{2}{T} \int_{0}^{T}(1-\frac{u}{T})(R_Y(u)-(R_X(\tau)^2)du =0$$