【相关函数的谱密度】
平稳过程的相关函数可视为一表示位移的时间函数,在时域上描述了随机过程的统计特征,因此,对于平稳过程的相关函数,利用 Fourier 分析的方法进行研究,便可在频域上描述平稳过程的统计特征,进而得到平稳过程谱密度这一概念
设
被称为
其中,
若存在函数
则称
【功率谱密度】
谱密度的概念来自于无线电技术,在物理学中表示功率谱密度
设
则在
等式左边表示
在实际应用中,很多信号的总能量是无限的,不满足绝对可积的条件,此时通常转为研究
作
其在
那么,Parseval 等式就变为
将 Parseval 等式两边同时除以
相应地,能谱密度为
称为确定性信号
对于平稳过程,类似地,有如下定义
设
为
为
对于平稳过程
【Wiener-Khintchine 公式】
设
则
当取
其中,
可以发现,Wiener-Khintchine 公式给出了平稳过程相关函数和谱密度的转换关系,揭示了从时间角度描述平稳过程的统计规律和从频率角度描述平稳过程的统计规律间的联系
在实际应用中,根据实际情况去选择时域方法或等价的频域方法来解决问题
【谱密度的计算】
平稳过程谱密度的计算,包括由相关函数计算谱密度和由谱密度计算相关函数两方面
由 Wiener-Khintchine 公式可知,实际上是计算 Fourier 变换和逆 Fourier 变换的问题,因此,计算方法有两种:
- 直接计算积分
- 利用 Fourier 变换性质与常用的相关函数和谱密度变换结果进行计算
下图给出了常用的相关函数
例如:已知平稳过程的相关函数为
由于
利用 Fourier 变换性质与上表,有:
其中,
【互谱密度】
定义
设
则称
为
互谱密度一般是
性质
互谱密度具有如下简单的性质:
1)
2)
3)若
4)
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