平稳过程的谱密度

【相关函数的谱密度】

平稳过程的相关函数可视为一表示位移的时间函数，在时域上描述了随机过程的统计特征，因此，对于平稳过程的相关函数，利用 Fourier 分析的方法进行研究，便可在频域上描述平稳过程的统计特征，进而得到平稳过程谱密度这一概念

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是均方连续的平稳过程，则其相关函数

$$R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega\pi}dF_X(\omega),\quad -\infty<\tau<+\infty$$

被称为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 相关函数的谱展开式，或谱分解式

其中，$F_X(\omega)$ 被称为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的谱函数，其在 $(-\infty,+\infty)$ 上非负、有界、单调不减、右连续，且有

$$\begin{align*} F_X(-\infty)&=0 \\ F_X(+\infty)&=2\pi R_X(0) \end{align*}$$

若存在函数 $S_X(\omega)$，使得

$$F_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\omega}S_X(\lambda)d\lambda,\quad -\infty<\omega<+\infty$$

则称 $S_X(\omega)$ 为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的谱密度

【功率谱密度】

谱密度的概念来自于无线电技术，在物理学中表示功率谱密度

设 $x(t),-\infty<t<+\infty$ 为一确定性信号，如果 $x(t)$ 满足 Dirichlet 条件且绝对可积，那么 $x(t)$ 具有频谱

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t}x(t)dt$$

则在 $x(t)$ 和 $F(\omega)$ 中有 Parseval 等式成立

$$\int_{-\infty}^{+\infty} x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F_x(\omega)|^2 d\omega$$

等式左边表示 $x(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的总能量，相应地，$|F_x(\omega)|^2$ 被称为 $x(t)$ 的能谱密度

在实际应用中，很多信号的总能量是无限的，不满足绝对可积的条件，此时通常转为研究 $x(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的平均功率，即

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^2(t)dt$$

作 $x(t)$ 的截尾函数

$$x_T(t)=\left\{\begin{array}{c} x(t),& |t|\leq T \\ 0,& |t|>T \end{array}\right.$$

其在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，此时 $x_T(t)$ 的 Fourier 变换为

$$F_x(\omega,T)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} x_T(t) dt=\int_{-T}^T e^{-j\omega t} x(t)dt$$

那么，Parseval 等式就变为

$$\int_{-T}^{T} x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F_x(\omega,T)|^2 d\omega$$

将 Parseval 等式两边同时除以 $2T$，再令 $T\rightarrow +\infty$，即可得 $x(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的平均功率为

$$\lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^2(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{2T} |F_x(\omega,T)|^2 d\omega$$

相应地，能谱密度为

$$S_x(\omega)=\lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{2T}|F_x(\omega,T)|^2=\lim_{T\rightarrow +\infty}\frac{1}{2T}\Big|\int_{-T}^T e^{-j\omega t} x(t)dt\Big|^2$$

称为确定性信号 $x(t)$ 在 $\omega$ 处的功率谱密度

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对于平稳过程，类似地，有如下定义

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 平稳过程，称

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} E\Big[ \frac{1}{2T}\int_{-T}^T X^2(t)dt \Big]$$

为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的平均功率，称

$$\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T} E\big[ |F_X(\omega,T)|^2 \big]$$

为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的功率谱密度，其中

$$F_X(\omega,T)=\int_{-T}^Te^{-j\omega t} X(t)dt$$

对于平稳过程 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$，若 $R_X(\tau)$ 绝对可积，那么 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的谱密度是功率谱密度，即

$$S_X(\omega)=\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T} E\Big[ \Big| \int_{-T}^Te^{-j\omega t} X(t)dt \Big|^2 \Big]=\lim_{T\rightarrow +\infty} \frac{1}{2T} E\big[ |F_X(\omega,T)|^2 \big]$$

【Wiener-Khintchine 公式】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是均方连续的平稳过程，且 $R_X(\tau)$ 绝对可积，即

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |R_X(\tau)|d\tau<+\infty$$

则 $F_X(\omega)$，且有 Wiener-Khintchine 公式

$$\begin{align*} R_X(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega\pi}S_X(\omega) d\omega,\quad -\infty<\tau<+\infty \\ S_X(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega\pi}R_X(\tau) d\tau,\quad -\infty<\omega<+\infty \\ \end{align*}$$

当取 $\omega=0$ 时，有

$$\begin{align*} R_X(0) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S_X(\omega) d\omega \\ S_X(0)&=\int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau) d\tau \end{align*}$$

其中，$R_X(0)$ 说明了功率谱密度曲线下的总面积（平均功率）等于平稳过程的均方值，$S_X(0)$ 说明了功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积

可以发现，Wiener-Khintchine 公式给出了平稳过程相关函数和谱密度的转换关系，揭示了从时间角度描述平稳过程的统计规律和从频率角度描述平稳过程的统计规律间的联系

在实际应用中，根据实际情况去选择时域方法或等价的频域方法来解决问题

【谱密度的计算】

平稳过程谱密度的计算，包括由相关函数计算谱密度和由谱密度计算相关函数两方面

由 Wiener-Khintchine 公式可知，实际上是计算 Fourier 变换和逆 Fourier 变换的问题，因此，计算方法有两种：

1. 直接计算积分
2. 利用 Fourier 变换性质与常用的相关函数和谱密度变换结果进行计算

下图给出了常用的相关函数 $R_X(\tau)$ 和谱密度 $S_X(\omega)$ 的变换

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例如：已知平稳过程的相关函数为 $R_X(\tau)=5+4e^{-3|\tau|}\cos^22\tau$，求其谱密度 $S_X(\omega)$

由于

$$R_X(\tau)=5+4e^{-3|\tau|}\cos^22\tau=5+2e^{-3|\tau|}+2e^{-3|\tau|}\cos4\tau$$

利用 Fourier 变换性质与上表，有：

$$\begin{align*} S_X(\omega) &= \mathscr{F}(R_X(\tau))\\ &= 5\mathscr{F}(1)+2\mathscr{F}(e^{-3|\tau|})+2\mathscr{F}(e^{-3|\tau|}\cos4\tau) \\ &= 10\pi\delta(\omega)+2\cdot\frac{6}{9+\omega^2}+2(\frac{3}{9+(\omega-4)^2}+\frac{3}{9+(\omega+4)^2}) \\ &= 10\pi\delta(\omega)+\frac{12}{9+\omega^2}+\frac{6}{9+(\omega-4)^2}+\frac{6}{9+(\omega+4)^2} \end{align*}$$

其中，$\mathscr{F}$ 代表 Fourier 变换

【互谱密度】

定义

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是联合平稳的平稳过程，若互相关函数 $R_{XY}(\tau)$ 绝对可积，即

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |R_{XY}(\tau)|d\tau<+\infty$$

则称

$$S_{XY}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega t} R_{XY}(\tau) d\tau,\quad -\infty<\omega<+\infty$$

为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的互谱密度

互谱密度一般是 $\omega$ 的复函数，不像谱密度那样具有物理意义，其作用在于：将时域上描述 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 相互关系的互相关函数，转换到频域上来研究他们的相关关系

性质

互谱密度具有如下简单的性质：

1）$\overline{S_{XY}(\omega)}=S_{YX}(\omega)$

2）$R_{XY}(\tau)$ 和 $S_{XY}(\omega)$ 是一对 Fourier 变换，即

$$\begin{align*} R_{XY}(\tau) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega \tau}S_{XY}(\omega)d\omega,\quad -\infty<\tau<+\infty \\ S_{XY}(\omega) &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j\omega \tau}R_{XY}(\tau)d\tau,\quad -\infty<\omega<+\infty \end{align*}$$

3）若 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 和 $\{Y(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是实联合平稳的平稳过程，则 $S_{XY}(\omega)$ 的实部 $\text{Re}(S_{XY}(\omega))$ 是偶函数，虚部 $\text{Im}(S_{XY}(\omega))$ 是奇函数

4）$|S_{XY}(\omega)|^2\leq S_{X}(\omega)S_{Y}(\omega),|S_{YX}(\omega)|^2\leq S_{X}(\omega)S_{Y}(\omega)$