【严平稳过程】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对任意的 $n\geq 1$ 和任意的 $t_1,t_2,\cdots,t_n\in T$ 以及使 $t_1+\tau,t_2+\tau,\cdots,t_n+\tau\in T$ 的任意实数 $\tau$，$n$ 维随机向量 $(X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n))$ 和 $(X(t_1+\tau),X(t_2+\tau),\cdots,X(t_n+\tau))$ 有相同的联合分布函数，即

$F(t_1,\cdots,t_n;x_1,\cdots,x_n)=F(t_1+\tau,\cdots,t_n+\tau;x_1,\cdots,x_n),\quad t_i\in T,x_i,\tau\in \mathbb{R}$

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是严平稳过程，或称 $\{X(t),t\in T\}$ 具严平稳性

根据定义可以看出，严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而发生改变

其所有的一维分布函数与 $t$ 无关，即

$F(t;x)=F(x)$

所有的二维分布函数仅是时间间隔的函数，与两个时刻本身无关

$F(t_1,t_2;x_1,x_2)=F(t_1+\tau,t_2+\tau;x_1,x_2)=F(0,t_2-t_1;x_1,x_2)$

那么，若 $\{X(t),t\in T\}$ 是一个二阶矩过程，且是一个严平稳过程，其均值函数有

$\mu_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x dF(t;x)=\int_{-\infty}^{+\infty} x dF(x)\triangleq \mu_X(c),\quad c\in \mathbb{R}$

其相关函数有

$\begin{align*} R_X(s,t) &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x_1x_2 dF(s,t;x_1,x_2) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x_1x_2 dF(0,t-s;x_1,x_2) \\ &\triangleq R_X(t-s) \end{align*}$

即一、二阶矩存在的严平稳过程的均值函数是常数，相关函数是时间间隔的函数，与时间起点无关

【宽平稳过程】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是二阶矩过程，若

对 $\forall t\in T$，有 $\mu_X(t)=\mu_X(c),c\in\mathbb{R}$
对 $\forall s,t\in T$，有 $R_X(s,t)=R_X(t-s)$ 或 $\forall \tau\in \mathbb{R}, t,t+\tau\in T,R_X(t,t+\tau)=R_X(\tau)$

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 为宽平稳过程，简称平稳过程

一般来说，严平稳过程不一定是宽平稳过程，这是因为严平稳过程的定义只涉及有限维分布，而并不要求一、二阶矩存在，但对二阶矩过程，严平稳过程必定是宽平稳过程

反过来，宽平稳过程不一定是严平稳过程，这是因为宽平稳过程的定义只要求均值函数与时间无关，且相关函数仅依赖于时间间隔，而与时间的起点无关，推导不出随机过程的有限维分布不随时间的推移而发生改变

但若 $\{X(t),t\in T\}$ 是正态过程，则 $\{X(t),t\in T\}$ 是严平稳过程的充要条件是：$\{X(t),t\in T\}$ 为宽平稳过程

【周期平稳过程】

若平稳过程 $\{X(t),t\in T\}$ 满足：

$X(t+T_0)=X(t),\quad t\in T,t_0\in \mathbb{R}$

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是周期为 $T_0$ 的周期平稳过程

其相关函数也是周期函数，且周期与 $\{X(t),t\in T\}$ 周期相同，即

$R_X(\tau+T_0)=E[\overline{X(t)}X(t+\tau+T_0)]=E[\overline{X(t)}X(t+\tau)]=R_X(\tau)$

【平稳过程的相关函数】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是平稳过程，则其相关函数有如下性质：

1）$R_X(0)=E[|X(t)|^2] \geq |\mu_X|^2\geq 0$

2）$\overline{R_X(\tau)}=R_X(-\tau)$

3）$|R_X(\tau)|\leq R_X(0)$

4）$R_X(\tau)=R_X(t-s)$ 具非负定性，即对 $\forall n\geq 1$，$t_1,t_2,\cdots,t_n\in T$，与复数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 有

$\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n R_X(t_l-t_k)\overline{a_k}a_l\geq 0$

此外，若 $\{X(t),t\in T\}$ 是实平稳过程，则其相关函数为偶函数，即

$R_X(-\tau)=R_X(\tau)$

【平稳过程的随机分析】

均方连续

若 $\{X(t),t\in T\}$ 是平稳过程，则 $\{X(t),t\in T\}$ 均方连续的充要条件是：$R_X(\tau)$ 在 $\tau$ 处连续

均方可导

若 $\{X(t),t\in T\}$ 是平稳过程，则以下命题成立：

1）$\{X(t),t\in T\}$ 均方可导的充要条件是：相关函数 $R_X(\tau)$ 在 $\tau=0$ 处一阶导数存在，二阶导数存在且连续

2）$\{X(t),t\in T\}$ 均方可导的必要条件是：相关函数 $R_X(\tau)$ 在 $\tau=0$ 处一阶导数存在，二阶导数存在且连续

3）若 $\{X(t),t\in T\}$ 均方可导，则其导数过程 $\{X’(t),t\in T\}$ 仍为平稳过程，且

$\begin{align*} \mu_{X'}(t)&=0 \\ R_{X'}(\tau)&=-R''_X(\tau) \end{align*}$

均方可积

若 $\{X(t),-\infty<t<+\infty \}$ 是均方连续的平稳过程，$f(t)$ 为分段连续函数，则在任何有限区间 $[a,b]$ 上，下列积分在均方意义下存在

$\int_{a}^bf(t)X(t)dt$

且对任一分段连续函数 $g(t)$，有

$E\Big[ \int_a^b g(s)X(s)ds \int_a^b f(t)X(t)dt \Big]=\int_a^b \int_a^b \overline{g(s)}f(t)R_X(t-s) ds dt$

【联合平稳的平稳过程】

设 $\{X(t),t\in T\}$ 和 $\{Y(t),t\in T\}$ 是两个平稳过程，若 $\forall s,t\in T$，有

$R_{XY}(s,t)=R_{XY}(t-s)$

则称 $\{X(t),t\in T\}$ 和 $\{Y(t),t\in T\}$ 是联合平稳的平稳过程

其相关函数有如下性质：

$\begin{array}{c} \overline{R_{XY}(\tau)}=R_{YX}(-\tau) \\ |R_{XY}(\tau)|^2\leq R_X(0)R_Y(0)\\ |R_{YX}(\tau)|^2\leq R_X(0)R_Y(0)\\ \end{array}$

进一步，若 $\{X(t),t\in T\}$ 和 $\{Y(t),t\in T\}$ 都是实平稳过程，则其相关函数满足

$R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau)$

Alex_McAvoy

平稳过程的基本概念