【矩阵直积】
定义
设 $A=[a_{ij}]\in C^{m\times n},B\in C^{p\times q}$，则对于矩阵 $A$ 与矩阵 $B$，称
为矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的直积，或克罗内克（Kronecker）积
性质
矩阵的直积具有如下性质：
设 $A\in C^{m\times n},B\in C^{p\times q},C\in C^{r\times s}$，则：
1）$\lambda(A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)$
2）$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C=A\otimes B\otimes C$
3）$(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T$，$(A\otimes B)^H=A^H\otimes B^H$
4）当 $D\in C^{k\times k}$ 且 $nq=rk$ 时，$(A\otimes B)(C\otimes D)$ 有意义，且当 $n=r,q=k$ 时，有
5）当 $p=m,q=n$ 时，有
6）当 $p=m,q=n,E\in C^{r\times s}$ 时，有
7）当 $m=n,p=q$ 且 $A^{-1},B^{-1}$ 存在时，有
8）当 $p=m,q=n$ 时，有
9）设 $A\in C^{m\times m},B\in C^{n\times n}$，$\lambda,\mu$ 分别是 $A,B$ 的特征值，相应的特征向量为 $\mathbf{u},\mathbf{v}$，则 $\lambda\mu$ 是 $A\otimes B$ 的特征值，相应的特征向量为 $\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}$
10）设 $A\in C^{m\times m},B\in C^{n\times n}$，则
【拉直运算】
定义
设 $A=[a_{ij}]\in C^{m\times n}$，则向量
称为矩阵 $A$ 的拉直运算
可以发现，矩阵的拉直运算是一种线性运算，即对 $\forall A,B\in C^{m\times n}$，有
与直积关系
设 $A\in C^{m\times n},X\in C^{p \times q},B\in C^{q\times n}$，则有
该关系可用于求解矩阵方程问题，即将矩阵方程组
化为线性方程组
其中，$A_i\in C^{m\times p},B_i \in C^{q\times n},X\in C^{p\times q},F\in C^{m\times n}$
当 $p=m,q=n$ 时，上述线性方程组有唯一解的充要条件是
例如：求解矩阵方程 $AX+XB=F$，其中
利用拉直运算，将 $AX+XB=F$ 化为线性方程组
则有
而
故线性方程组有唯一解，解得
故原矩阵方程的解为
