【复平稳过程的谱分解】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是零均值均方连续的平稳过程，其谱函数为 $F_X(\omega)$，则

$X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega t}dZ(\omega),\quad -\infty<t<+\infty$

称为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的随机谱函数，其中

$Z(\omega)=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^T \frac{e^{-j\omega t}-1}{-jt}X(t)dt,\quad -\infty<\omega<+\infty$

【实平稳过程的谱分解】

设 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 是零均值均方连续的实平稳过程，其谱函数为 $F_X(\omega)$，则

$X(t)=\int_{0}^{+\infty} \cos \omega t dZ_1(\omega) +\int_{0}^{+\infty} \sin \omega t dZ_2(\omega),\quad -\infty<t<+\infty$

称为 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 的随机谱函数，其中

$\begin{align*} Z_1(\omega)=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{\pi} \int_{-T}^T \frac{\sin \omega t}{t}X(t)dt,\quad -\infty<\omega<+\infty \\ Z_1(\omega)=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \frac{1}{\pi} \int_{-T}^T \frac{1-\cos \omega t}{t}X(t)dt,\quad -\infty<\omega<+\infty \end{align*}$

【随机谱函数的意义】

以复平稳过程为例，由于

$X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega t}dZ(\omega),\quad -\infty<t<+\infty$

即

$X(t)=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \int_{-T}^T e^{j\omega t} dZ(\omega)$

将区间 $[-T,T]$ 等分为 $2N$ 个子区间，根据均方积分的定义

$X(t)=\underset{T\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \underset{N\rightarrow +\infty}{\text{l.i.m }} \sum_{k=-N+1}^N e^{jt\frac{k}{N}T} \Big( Z(\frac{kT}{N})-Z(\frac{(k-1)T}{N}) \Big)$

说明均方连续的平稳过程 $\{X(t),-\infty<t<+\infty\}$ 可以看成振幅为 $Z(\frac{kT}{N})-Z(\frac{(k-1)T}{N})$，角频率为 $\frac{kT}{N}$ 的谐分量的有限次叠加和的均方极限

简单来说，$X(t)$ 是谐分量 $dZ(\omega)e^{jt\omega}$ 的无限叠加和