【复平稳过程的谱分解】

设 ${X (t), - \infty < t < + \infty}$ 是零均值均方连续的平稳过程，其谱函数为 $F_{X} (ω)$ ，则

X (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j ω t} d Z (ω), - \infty < t < + \infty

称为 ${X (t), - \infty < t < + \infty}$ 的随机谱函数，其中

Z (ω) = \underset{T \to + \infty}{l.i.m} \frac{1}{2 π} \int_{- T}^{T} \frac{e^{- j ω t} - 1}{- j t} X (t) d t, - \infty < ω < + \infty

【实平稳过程的谱分解】

设 ${X (t), - \infty < t < + \infty}$ 是零均值均方连续的实平稳过程，其谱函数为 $F_{X} (ω)$ ，则

X (t) = \int_{0}^{+ \infty} \cos ω t d Z_{1} (ω) + \int_{0}^{+ \infty} \sin ω t d Z_{2} (ω), - \infty < t < + \infty

称为 ${X (t), - \infty < t < + \infty}$ 的随机谱函数，其中

\begin{array}{r} Z_{1} (ω) = \underset{T \to + \infty}{l.i.m} \frac{1}{π} \int_{- T}^{T} \frac{\sin ω t}{t} X (t) d t, - \infty < ω < + \infty \\ Z_{1} (ω) = \underset{T \to + \infty}{l.i.m} \frac{1}{π} \int_{- T}^{T} \frac{1 - \cos ω t}{t} X (t) d t, - \infty < ω < + \infty \end{array}

以复平稳过程为例，由于

X (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j ω t} d Z (ω), - \infty < t < + \infty

即

X (t) = \underset{T \to + \infty}{l.i.m} \int_{- T}^{T} e^{j ω t} d Z (ω)

将区间 $[- T, T]$ 等分为 $2 N$ 个子区间，根据均方积分的定义

X (t) = \underset{T \to + \infty}{l.i.m} \underset{N \to + \infty}{l.i.m} \sum_{k = - N + 1}^{N} e^{j t \frac{k}{N} T} (Z (\frac{k T}{N}) - Z (\frac{(k - 1) T}{N}))

说明均方连续的平稳过程 ${X (t), - \infty < t < + \infty}$ 可以看成振幅为 $Z (\frac{k T}{N}) - Z (\frac{(k - 1) T}{N})$ ，角频率为 $\frac{k T}{N}$ 的谐分量的有限次叠加和的均方极限

简单来说， $X (t)$ 是谐分量 $d Z (ω) e^{j t ω}$ 的无限叠加和