Reference

• 概率论学习笔记（二）
• Borel 集
• Borel 集的作用？意义？它为什么重要？

【随机变量】

示性函数

对于样本空间 $\Omega$，样本点 $\omega$，设 $A$ 为事件，示性函数 $I_A$ 为 $\Omega$ 上的函数，其被定义为：

$$I_A(\omega) = \left\{ \begin{array}{rl} 0, \omega\in A\\ 1, \omega\notin A \end{array} \right.$$

可以发现，对于 $\forall x \in \mathbb{R}$，$\{I_A \leq x\}$ 都是事件

详细地，有：

$$\{\omega|I_A(\omega)\leq x\} = \left\{ \begin{array}{rl} \varnothing,& x < 0 \\ \bar{A},& x\in [0,1) \\ \Omega,& x\geq 1 \end{array} \right.$$

随机变量

在示性函数的基础上，即可严格定义随机变量

对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$，若实函数 $X(\cdot)$ 满足：$\forall x \in \mathbb{R},\{\omega|X(\omega)\leq x\}\in\mathscr{F}$，则称 $X(\omega)$ 为可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$ 上的随机变量，通常省略样本点 $\omega$ 记为 $X$

【Borel 集】

Borel 集

接下来，要提出的一个自然的问题是：集合 $A$ 要满足什么条件，才能使得 $\{x\in A\}\in\mathscr{F}$，即在实数域上，随机变量的所有可能取值的集合至少应该满足的条件是什么？

根据随机变量的定义，若 $X$ 为随机变量，必有 $\{a<X\leq b\}\in \mathscr{F}$

从这一点出发，假设 $C$ 为 $\mathbb{R}$ 中所有左闭右开的集合组成的集合，设 $\mathbb{B}$ 为 $C$ 中所有元素经过交、补、可列并运算及其反复运算得到的集合所组成的集合

容易验证 $\mathbb{B}$ 满足事件域的定义，此时，称 $\mathbb{B}$ 为 Borel 域，其中的元素为 Borel 集

进一步，可给出定理：设 $X$ 为随机变量，$A$ 为 Borel 集，则 $\{x\in A\}\in\mathscr{F}$

由此可知，随机变量的所有可能取值的集合至少要是一个 Borel 集，即对 Borel 集 $A$，$P(x\in A)$ 才是可计算的

Borel 可测函数

可以发现，二元组 $(\mathbb{R},\mathbb{B})$ 同样是一个可测空间

那么在可测空间 $(\mathbb{R},\mathbb{B})$ 上，若函数 $g(\cdot)$ 满足：$\forall a \in \mathbb{R},\{x|g(x)\leq a\}\in \mathbb{B}$，则称函数 $g(\cdot)$ 为 Borel 可测函数

事实上，目前接触到的几乎所有集合都是 Borel 集，几乎所有函数都是 Borel 可测函数

进一步，可给出定理：设 $X$ 为随机变量，$g(\cdot)$ 为 Borel 可测函数，则 $g(X)$ 为随机变量

这正是利用已有的随机变量，构造出无穷无尽的随机变量的方法

随机变量独立性

Borel 集可看作是事件与随机变量之间的桥梁，因此，根据事件独立性的定义，可以类似地定义随机变量的独立性

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为随机变量，对于 $\forall x_1,x_2,\cdots,x_n$，若有：

$$P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2\cdots,X_n\leq x_n)=P(X_1\leq x_1)P(X_2\leq x_2)\cdots P(X_n\leq x_n)$$

则称随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立

对于 Borel 集在维系随机变量独立性中的作用 ，有以下定理：

$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为相互独立的随机变量，对任意 Borel 集 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，事件 $\{X_1\in A_1\},\{X_2\in A_2\},\cdots,\{X_n\in A_n\}$ 也相互独立

进一步，若 $g_1(\cdot),g_2(\cdot),\cdots,g_n(\cdot)$ 为 Borel 可测函数，则 $g_1(X_1),g_2(X_2),\cdots,g_n(X_n)$ 也相互独立

【分布函数】

对于随机变量 $X$，函数 $F(x)=P(X\leq x),-\infty<x<\infty$ 称为随机变量 $X$ 的分布函数

其具有如下性质：

1. 单调不减：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\leq F(x_2)$
2. 右连续：$\forall x \in \mathbb{R}$，有 $F(x+0)=F(x)$
3. 有界：$F(-\infty)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0,F(+\infty)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1$

【离散型随机变量】

若随机变量 $X$ 的可能取值为有限个或可列无限个，则 $X$ 称为离散型随机变量

此时用概率分布列来描述随机变量的概率分布，即：

$$P(X=x_i)=p_i,\quad i=1,2,\cdots$$

此时 $X$ 的分布函数为：

$$F(x)=\sum_{x_i\leq x}p_i,\quad x\in \mathbb{R}$$

【连续型随机变量】

若随机变量 $X$ 的可能取值为不可列个，则 $X$ 称为连续型随机变量

若存在非负可积函数 $f(x)$，使得：

$$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt,\quad x\in \mathbb{R}$$

则称 $f(x)$ 为连续随机变量 $X$ 的概率密度函数

对于 $\forall a<b$，连续随机变量 $X$ 的概率密度函数有：

$$P(a<X\leq b) = \int_a^b f(x) dx$$

显然，其满足以下性质：

• 连续性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx =1$
• 单点概率为零：$\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon}f(x)dx=0$

因此，有：

$$P(a<X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)$$