Alex_McAvoy

想要成为渔夫的猎手

n 维随机向量

Reference

n 维随机向量】

在随机变量的基础上扩展到 n 维,就有了随机向量,从本质上来看,二者区别不大,只是处理的方式稍微复杂一些

在概率空间 (Ω,F,P) 上的 n 元实函数 X()={X1(),X2(),,Xn()},若 x=(x1,x2,,xn)Rn,有:

{ω|X1(ω)x1,X2(ω)x2,,Xn(ω)xn}F

则称 X=(X1,X2,,Xn)n 维随机向量

【分布函数】

联合分布函数

对于 n 维随机向量 X=(X1,X2,,Xn)x=(x1,x2,,xn)Rn,称:

F(x)=F(x1,x2,,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)

X联合分布函数

与一维情况下的分布函数类似,其具有如下性质:

  1. 单调不减:F(x1,x2,,xn) 对任一 xi,是单调不减函数
  2. 右连续:F(x1,x2,,xn) 对任一 xi,是右连续函数
  3. 有界:F(x1,,xi1,,xi+1,,xn)=0,F(+,+,,+)=1
  4. Jordan 公式:设 xiyi,i=1,2,,n,有
F(y1,y2,,yn)i=1nF(y1,y2,,yi1,xi,yi+1,,yn)+1i<jnF(y1,y2,,yi1,xi,yi+1,,yj1,xj,yj+1,yn)+(1)nF(x1,x2,,xn)0

边缘分布函数

联合分布描述的是多个随机变量混合纠缠在一起时的分布,将某一个或某几个随机变量分离出来,求他们的概率分布,即有了边缘分布函数

对于 n 维随机向量 X=(X1,X2,,Xn)x=(x1,x2,,xn)Rn,保留 k(1k<n)xi,比如 x1,x2,,xk,并令其他的 xi 均趋于 +,即:

limxk+1+xn+F(x1,,xk,xk+1,,xn)=F(x1,,xk,+,,+)

此时称 F(x1,,xk)n 维随机向量 X 关于 (X1,X2,,Xk)边缘分布函数

特别地,当 k=1 时,即可得到 n 维随机向量 Xn 个边缘分布函数:

FX1(x1),FX2(x2),,FXn(xn)

【随机向量分量独立性】

有了边缘分布的概念后,即可得到关于随机向量各分量间独立性的定理,其描述的是随机向量内部的关系

n 维随机向量 X=(X1,X2,,Xn), 其联合分布函数为 F(x1,x2,,xn),边缘分布函数为 FX1(x1),FX2(x2),,FXn(xn)

若对 x=(x1,x2,,xn)Rn,有:

F(x1,x2,,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)

则称随机变量 X1,X2,,Xn 相互独立

n 维离散型随机向量】

联合分布函数

n 维随机向量 X=(X1,X2,,Xn) 的可能取值为有限对或可列无限对,则 X 称为n 维离散型随机向量

此时用联合分布律来描述随机变量的概率分布,即:

P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)

此时 X 的联合分布函数为:

F(u1,u2,,un)=x1u1x2u2xnunP(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)

边缘分布函数

对于 n 维随机向量 X=(X1,X2,,Xn)x=(x1,x2,,xn)Rn,保留 k(1k<n)xi,比如 x1,x2,,xk,并令其他的 xi 均趋于 +,即可得到 k边缘分布函数 F(x1,x2,,xk,+,,+)

特别地,当 k=1 时,即可得到 n 维随机向量 Xn 个边缘分布函数:

FX1(x1),FX2(x2),,FXn(xn)

分量独立性

对于 n 维离散型随机向量 X=(X1,X2,,Xn)X1,X2,,Xn 相互独立的充要条件为:

P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)=P(X1=x1)P(X2=x2)P(Xn=xn)

n 维连续型随机向量】

联合概率密度函数

若随机向量 X 的可能取值为不可列对,则 X 称为 n 维连续型随机变量

Rn 上的非负可积函数 f(x1,x2,,xn),对 D={(x1,,xn)|ai<xibi,ai,biR},都有:

P(XD)=Df(x1,,xn)dx1dxn

则称 f(x1,x2,,xn)n 维连续随机向量 X联合概率密度函数

边缘概率密度函数

对于 n 维连续型随机变量 X,其联合概率密度函数为 f(x1,x2,,xn)

1k<n,设 Dk={(x1,,xk)|ai<xibi,ai,biR,1ik},则有:

P((X1,,Xk)Dk)=Dk×Rnkf(x1,,xn)dx1dxn

根据 Fubini 定理:对于 DRn 上的绝对可积函数 f,其在 D 上的任意 n 重积分可以任意交换 n 次积分的顺序

故原式为:

Dk(Rnkf(x1,,xk,xk+1,,xn)dxk+1dxn)dx1dxk

根据联合概率密度函数的定义,记:

f(x1,,xk)=Rnkf(x1,,xk,xk+1,,xn)dxk+1dxn

此时 f(x1,,xk)n 维随机向量 X 关于 (X1,X2,,Xk)边缘概率密度函数

特别地,当 k=1 时,即可得到 n 维连续型随机向量 Xn 个边缘概率密度函数:

fX1(x1),fX2(x2),,fXn(xn)

分量独立性

对于 n 维连续型随机向量 X=(X1,X2,,Xn)X1,X2,,Xn 相互独立的充要条件为:

f(x1,x2,,xn)=fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)
感谢您对我的支持,让我继续努力分享有用的技术与知识点!

Gitalking ...