Reference
【事件域】
基本概念
- 随机试验：结果不能事先确定且相同条件下可重复的试验
- 样本空间：一个试验所有可能出现的结果的全体，记为 $\Omega$
- 样本点：试验的一个结果，记为 $\omega$，即 $\Omega=\{\omega\}$
- 随机事件：简称事件，样本空间的某个子集
事件域
根据实际情况，并不对 $\Omega$ 的一切子集研究，只对某些事件类感兴趣，由此引入事件域
设 $\Omega$ 是样本空间，$\mathscr{F}$ 是 $\Omega$ 的某些子集构成的集合，若：
- $\omega$ 是域中的一个元素，即 $\Omega\in\mathscr{F}$
- 对于域 $\mathscr{F}$ 中的任意事件 $A$，其对立事件 $\bar{A}$ 也在域 $\mathscr{F}$ 中，即 $A\in\mathscr{F}$，则 $\bar{A}\in\mathscr{F}$
- 对于域 $\mathscr{F}$ 中的事件，其无穷交 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$ 也在域中，即 $A_n \in \mathscr{F} , n=1,2, \cdots$，则 $\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}A_n \in \mathscr{F}$
那么称 $\mathscr{F}$ 为事件域，也称 $\mathscr{F}$ 为 $\sigma$ 域（满足补集运算封闭、可列并运算封闭），称 $(\Omega,\mathscr{F})$ 为可测空间
例如：$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
- $F=\{\Omega,\varnothing,\{1,3,5\},\{2,4,6\}\}$ 构成 $\sigma$ 域
- $F=\{\Omega,\varnothing,\{1,2\},\{3,4\}\}$ 不构成 $\sigma$ 域
其具有以下性质：
- $\varnothing\in\mathscr{F}$
- 若 $A,B \in \mathscr{F}$，则 $A-B\in\mathscr{F}$
- 若 $A_n\in\mathscr{F},n=1,2,\cdots$，则 $\bigcap\limits^{\infty}_{n=1}A_n\in\mathscr{F}$
【概率空间】
概率空间
在可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$ 上，定义概率，作为一种测度存在
设 $\Omega$是样本空间，$\mathscr{F}$ 为事件域，定义在 $\mathscr{F}$ 上的实值函数 $P(\cdot)$ 若满足：
- 非负性：$\forall A \in\mathscr{F}$，$P(A)\geq 0$
- 完全性：$P(\Omega)=1$
- 可列可加性：若 $A_n \in \mathscr{F},n=1,2,\cdots$，且 $A_i A_j=\varnothing , i\neq j=1,2,\cdots$，则
那么，称 $P$ 是可测空间 $(\Omega,\mathscr{F})$ 上的概率，称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率，称 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 为概率空间
概率性质
事件的概率具有如下性质：
- $P(\varnothing)=0$
- 若 $A_i \in \mathscr{F},n=1,\cdots,n$，且 $A_iA_j=\varnothing,i\neq j=1,\cdots,n$，则：
- 若 $A,B\in\mathscr{F},A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A)$，$P(A)\leq P(B)$
- 若 $A\in\mathscr{F}$，则 $P(A)\leq 1$，$P(\bar{A})=1-P(A)$
- 若 $A_n\in\mathscr{F},n=1,2,\cdots$，则：
- Jordan 公式：若 $A_n\in\mathscr{F},n=1,2,\cdots$，则：
概率连续性
定义单调事件列：
- 单调递增的事件列：事件列 $A_n\in\mathscr{F}$ ，满足 $A_n\subset A_{n+1}$，其中 $n=1,2,\cdots$
- 单调递减的事件列：事件列 $A_n\in\mathscr{F}$ ，满足 $A_n\supset A_{n+1}$，其中 $n=1,2,\cdots$
单调事件列必有极限：
1）若 $A_n$ 为单调递增的事件列，那么有：$A_1\subset A_2\subset \cdots \subset A_n \cdots$，进而有：
2）若 $A_n$ 为单调递减的事件列，那么有：$A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n \cdots$，进而有：
【条件概率】
以古典概型的掷骰子为例，设事件 $A$ 为掷出的点数为偶数，事件 $B$ 为掷出 $2$，那么概率 $P(B|A)$ 称为在条件 $A$ 下，$B$ 发生的条件概率
可以发现，在附加了 “掷出的点数为偶数” 的条件后，事件 “掷出 $2$” 没有发生变化，变化的是样本空间，其被缩小了
也就是说，条件概率的本质，是对样本空间的限制
于是，有：
进一步，模仿概率测度的定义，可以定义条件概率测度
设 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ 为一概率空间，$A,B\in\mathscr{F}$，且 $P(A)>0$，则称
为事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的条件概率
【概率公式】
乘法公式
若 $A_i\in\mathscr{F},i=1,2,\cdots,n$，且 $P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$，则：
全概率公式
若 $A\in\mathscr{F},B_i\in\mathscr{F},P(B_i)>0,i=1,2,\cdots,n$，且 $B_iB_j=\varnothing,i\neq j,\bigcup\limits^{\infty}_{i=1}B_i\supset A$，则：
贝叶斯公式（Bayes）
若 $A\in\mathscr{F},P(A)>0,B_i\in\mathscr{F},P(B_i)>0,i=1,2,\cdots,n$，且 $B_iB_j=\varnothing,i\neq j,\bigcup\limits^{\infty}_{i=1}B_i\supset A$，则：
$B_j$ 可以看作是诱发了事件 $A$ 的原因，$P(B_j)$ 就代表了每个原因可能发生的概率，为先验概率（Prior Probability）
当发生了事件 $A$ 后，会对引发其的原因产生了新的认识，即 $P(B_j|A)$，称为后验概率（Posterior Probability）
拿着先天的经验来进行实践，得到结果后又反过来去更新那些已经具有的经验，不断地重复这一过程，即可越来越接近最终的真理，因此贝叶斯公式描述的是一个学习与逆推的过程
【事件独立性】
对于两个事件 $A,B$，若满足 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称 $A$ 与 $B$ 独立
进一步，对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ ，有 $A_i\in\mathscr{F},i=1,\cdots,n$，若其中的任意两个事件 $A_i,A_j,i\neq j$，有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$ 则称事件两两独立
也就是说，一个随机事件无论是否发生，不会影响到另外一个随机事件发生的概率
再进一步，对于概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},P)$ ，有 $A_i\in\mathscr{F},i=1,\cdots,n$，若对 $\forall k \in(1,n]$ 以及 $1\leq i_1 < i_2 < \cdots<i_k \leq n$，有：
则称 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 相互独立
可以发现，若事件 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 相互独立，则必有事件 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 两两独立，反之则不成立
