【引入】

对于 $n$ 阶方阵，如果没有 $n$ 个线性无关的特征向量，就无法进行对角化

那么，对于 $n$ 阶方阵，是否能相似于一个较为简单的上三角分块矩阵？答案是肯定的，这种具较为简单的上三角分块矩阵即 Jordan 标准形

也就是说，任何 $n$ 阶方阵 $A$ 在复数域上都相似于一个 Jordan 标准形

【Jordan 矩阵】

称形

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{r\times r}$

的 $r$ 阶矩阵为基本 Jordan 块矩阵，简称为 Jordan 块

同一特征值的若干 Jordan 块组成的对角块矩阵称为子 Jordan 矩阵，而由若干子 Jordan 矩阵组成的对角矩阵称为 Jordan 矩阵

例如

$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ & 2\\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} i+1 & 1 \\ & i+1 & 1 \\ & & i+1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & 1 & \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 \end{bmatrix}$

均为 Jordan 块，

$\left[\begin{array}{c:cc} i+1 & &\\ \hdashline & i+1 & 1\\ & & i+1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc:cc} 2 & 1 & \\ & 2 & & \\ \hdashline & &0 &1 \\ & & & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc:ccc} 3 & 1 & & & \\ & 3 & & &\\ \hdashline & & -3 & &\\ & & & -3 & 1 \\ & & & & -3 \end{array}\right]$

均为 Jordan 矩阵，其中，第一个矩阵由两个 Jordan 块组成，第二、三个矩阵由两个子 Jordan 矩阵组成

【Jordan 标准形】

如果 $n$ 阶方阵 $A$ 相似于 Jordan 矩阵，即存在 $n$ 阶可逆阵 $P$，使得

$P^{-1}AP=J$

其中，$J$ 为 Jordan 矩阵，则称 $J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准形

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的全部互异的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$，其代数重数分别为 $n_1,n_2,\cdots,n_s(n_1+n_2+\cdots+n_s=n)$，几何重数分别为 $k_i=\text{dim } \varepsilon_{\lambda_i}$，则 $A$ 相似于一个 Jordan 阵，即存在可逆阵 $P\in \mathbb{C}^{n\times n}$，使得

$P^{-1}AP=\begin{bmatrix} J_1 & & &\\ & J_2 & &\\ & &\ddots &\\ & & & J_s \end{bmatrix}$

其中，$J_i$ 是主对角元为 $\lambda_i$ 的 $n_i$ 阶子 Jordan 阵，且 $J_i$ 包含 $k_i$ 个 Jordan 块

【行列式因子与不变因子】

行列式因子

若一个矩阵都是关于 $\lambda$ 的多项式，那么该矩阵称为 $\lambda$ 阵，或多项式矩阵

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$，记 $A(\lambda)=\lambda I_n-A$，称 $A(\lambda)$ 为方阵 $A$ 的特征矩阵，显然 $A(\lambda)$ 中的元均为 $\lambda$ 的零次或一次多项式，故 $A(\lambda)$ 是一个特殊的 $\lambda$ 阵

对于 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征矩阵 $A(\lambda)$，其中所有非零的 $k$ 阶子式的首项系数为 $1$ 的最大公因式 $D_k(\lambda)$，称为 $A(\lambda)$ 的一个 $k$ 级行列式因子

由于多项式的首项是指多项式的最高次项，通常称首项系数为 $1$ 的多项式为首一多项式，因此 $A(\lambda)$ 的各级行列式因子均为首一多项式

不变因子

根据行列式因子的定义，有

$D_n(\lambda)=|\lambda I_n-A|$

因为 $D_k(\lambda)$ 可按一行或按一列展开为一系列 $k-1$ 级子式的代数和，又 $D_{k-1}(\lambda)$ 能整除每个 $k-1$ 级子式，所以 $D_{k-1}(\lambda)$ 能整除 $D_k(\lambda)$，记为 $D_{k-1}(\lambda)|D_k(\lambda)$，故称下列 $n$ 个多项式

$\begin{align*} d_1(\lambda) =& D_1(\lambda)\\ d_2(\lambda) =& \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} \\ \vdots \\ d_n(\lambda) =& \frac{D_n(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)} \end{align*}$

为 $A(\lambda)$ 的不变因子

由于特征矩阵 $A(\lambda)$ 只与 $A$ 相关，因此 $A(\lambda)$ 的行列式因子和不变因子也称为矩阵 $A$ 的行列式因子和不变因子

【Smith 标准形】

直接使用定义去求 $A$ 的各级行列式因子和不变因子是十分繁琐的，为此可以采用初等变换的方式来求

称下列运算为多项式矩阵 $A(\lambda)$ 的初等变换：

互换 $A(\lambda)$ 的任意两行或两列
用非零常数 $c$ 乘 $A(\lambda)$ 的某行或某列
用多项式 $\varphi(\lambda)$ 乘 $A(\lambda)$ 的某行或某列，然后加到另一行或另一列

由行列式的性质可知，特征矩阵 $A(\lambda)$ 的行列式因子在初等变换下是不变的，因此，可对 $A(\lambda)$ 进行初等变换，将 $A(\lambda)$ 变为如下对角形

$\begin{bmatrix} \varphi_1(\lambda) &&& \\ & \varphi_2(\lambda) &&\\ && \ddots &\\ &&& \varphi_n(\lambda) \end{bmatrix}$

其中，$\varphi_i(\lambda)$ 均为首一多项式，且满足

$\varphi_1(\lambda)|\varphi_2(\lambda),\quad \varphi_2(\lambda)|\varphi_3(\lambda),\quad \cdots,\quad \varphi_{n-1}(\lambda)|\varphi_n(\lambda)$

称上式的对角形为特征矩阵 $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形，其主对角线上的各多项式即为 $A(\lambda)$ 的不变因子

【初等因子】

将 $A$ 的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现次数计算）称为 $A$ 的初等因子

例如，若 $A$ 的不变因子为

$\begin{array}{c} d_1(\lambda)=d_2(\lambda)=\cdots=d_6(\lambda)=1 \\ d_7(\lambda)=(\lambda-1)^2 \\ d_8(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)^2 \\ d_9(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1)^2 \end{array}$

则次数大于零的不变因子有 $3$ 个，即 $d_7(\lambda),d_8(\lambda),d_9(\lambda)$，这三个不变因子共有五个因子组成，故 $A$ 的全部初等因子为

$(\lambda-1)^2,\quad (\lambda-2),\quad (\lambda-1)^2,\quad (\lambda-2)^2,\quad (\lambda-1)^2$

【Jordan 标准形的构造】

根据多项式矩阵理论，两根同阶方阵 $A,B$ 相似的充要条件是它们具有相同的不变因子或初等因子

从这一结论可以推出，若知道方阵 $A$ 的全部初等因子，那么只要能求出同样具有这些初等因子的 Jordan 阵，这个 Jordan 阵，即为 $A$ 的 Jordan 标准形

设方阵 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 的全部初等因子为

$(\lambda-\lambda_1)^{k_1},\quad (\lambda-\lambda_2)^{k_2},\quad\cdots,\quad (\lambda-\lambda_s)^{k_s}$

其中，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 可能是相同的，指数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 也可能是相同的，对每个初等因子 $(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$ 构造一个 Jordan 块

$J_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & &\\ & \lambda_i & \ddots &\\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \end{bmatrix},\quad i=1,2\cdots,s$

则 $A$ 的 Jordan 标准形为

$J=\begin{bmatrix} J_1 &&& \\ & J_2 && \\ &&\ddots& \\ &&& J_n \end{bmatrix}$

易知，除去 Jordan 块的排列次序外，方阵 $A$ 的 Jordan 标准形是由 $A$ 唯一确定的

例如，若矩阵 $A$ 的全部初等因子为

$(\lambda-2),\quad (\lambda-2)^2,\quad (\lambda-4)$

故 $A$ 的 Jordan 标准形为

$J=\left[\begin{array}{c:c:cc} 4 & & & \\ \hdashline & 2 & &\\ \hdashline & & 2 & 1 \\ & & & 2 \end{array}\right]$

即存在可逆阵 $P$，使得

$P^{-1}AP=\text{diag}([4],[2],\begin{bmatrix}2&1\\&2\end{bmatrix})$