【方阵多项式】

设复多项式

$g(\lambda)=a_0\lambda^m+a_1\lambda^{m-1}+\cdots+a_{m-1}\lambda+a_m$

为 $m$ 次多项式，其中，$\lambda$ 为复变量，$m$ 为整数，$a_0\neq0,a_1,\cdots,a_m$ 均为复系数

对 $\forall A\in \mathbb{C}^{n\times n}$，将上式中的 $\lambda$ 换为方阵 $A$，则

$g(A)=a_0A^m+a_{1}A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_mI_n$

仍为一 $n$ 阶方阵，称上式为方阵多项式

相应地，对于一个方阵多项式，也可转为对应同次数的复多项式

【零化多项式】

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$g(\lambda)$ 为 $m$ 次多项式，若

$g(A)=O$

则称 $g(\lambda)$ 为方阵 $A$ 的零化多项式

【凯莱-哈密顿定理】

凯莱-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理，简称 CH 定理，其提供了一个寻找任何方阵零化多项式的有效方法，即：$n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式 $f_A(\lambda)$ 是 $A$ 的零化多项式

从形式上看，若

$f_A(\lambda)=|\lambda I_n-A|=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n$

则

$f_A(A)=A^n+a_1A^{n-1}+\cdots+a_{n-1}A+a_nI_n=O$

CH 定理的重要意义在于：

指出任何 $n$ 阶方阵 $A$ 都具有次数不超过 $n$ 的零化多项式 $f_A(\lambda)$
当 $m\geq n$ 时，任何 $n$ 阶方阵 $A$ 的方幂 $A^m$，均可表为 $A^{n-1},\cdots,A,A^0$ 的线性组合，从而 $A$ 的任何 $m$ 次方阵多项式都可表为次数不超过 $n-1$ 次的方阵多项式

例如：

设

$A=\begin{bmatrix} 1&2&0 \\ 0&-1&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}$

求：$g(A)=2A^8-3A^5+A^4+A^2-4I_3$

易得，$A$ 的特征多项式为

$f_A(\lambda)=|\lambda I_3-A|=\lambda^3-2\lambda+1$

取 $g(A)$ 对应的复多项式

$g(\lambda)=2\lambda^8-3\lambda^5+\lambda^4+\lambda^2-4$

用 $f_A(\lambda)$ 去除 $g(\lambda)$，得

$g(\lambda)=(2\lambda^5+4\lambda^3-5\lambda^2+9\lambda-14)f_A(\lambda)+\varphi(\lambda)$

其中，余式 $\varphi(\lambda)=24\lambda^2-37\lambda+10$

根据 CH 定理，$f_A(A)=0$，故

$g(A)=\varphi(A)=24A^2-37A+10I_3 =\begin{bmatrix} -3&-74&48\\ 0&95&-61\\ 0&-61&34 \end{bmatrix}$

【最小多项式】

定义

任何一个 $n$ 方阵 $A$，都有无穷多个零化多项式 $g(\lambda)$，在这诸多的零化多项式中称 $A$ 的首项系数为 $1$ 且次数最小的零化多项式，为 $A$ 的最小多项式，记为 $m_A(\lambda)$

其具有如下性质：

$A$ 的任何零化多项式 $g(\lambda)$ 都能被 $m_A(\lambda)$ 整除
$A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 是唯一的
$\lambda_0$ 为 $A$ 的特征值的充要条件是 $m_A(\lambda_0)=0$

通过如上性质，可以得到一个推论：若 $A$ 的特征值都是单根，则 $A$ 的特征多项式就是最小多项式

最小多项式形式

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式为

$f_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{n_s}$

其中，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 是 $s$ 个全部互异的特征值，$n_1,n_2,\cdots,n_s$ 是相应的代数重数

则 $A$ 的最小多项式必须具备如下形式

$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}(\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{m_s}$

其中，$1\leq m_i\leq n_i$

例如：

$A=\begin{bmatrix} 2&-1&-1 \\ 0&5&3 \\ 0&-4&-2 \end{bmatrix}$

则 $A$ 的特征多项式为

$f_A(\lambda)=|\lambda I_3-A|=(\lambda-1)(\lambda-2)^2$

根据最小多项式 $m_A(\lambda)$ 的形式，$m_A(\lambda)$ 只可能是 $(\lambda-1)(\lambda-2)$ 或 $(\lambda-1)(\lambda-2)^2$

分别计算

$(A-I_3)(A-2I_3)\overset{?}=O \quad (A-I_3)(A-2I_3)^2\overset{?}=O$

解得 $(A-I_3)(A-2I_3)=O$，故最小多项式为

$m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)$

分块对角阵的最小多项式

设方阵 $A_1,A_2,\cdots,A_s$ 的特征多项式分别为 $f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_s(\lambda)$，最小多项式分别为 $m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_s(\lambda)$

那么对角阵

$A=\begin{bmatrix} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&& A_s \end{bmatrix}$

的特征多项式为

$f_A(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_s(\lambda)$

$A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 为$m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_s(\lambda)$ 的最小公倍式

Alex_McAvoy

凯莱-哈密顿定理与最小多项式