矩阵 M-P 广义逆

【引入】

对于任意一个方阵，其不一定可逆，但将矩阵逆的概念进行推广，使得任何一个矩阵在某种意义下均可逆，这就是矩阵广义逆的概念

矩阵广义逆有多种定义，其中最广泛应用的一种是 Moore-Penrose 广义逆

【M-P 广义逆的定义】

设 $A\in C^{m\times n}$，若存在 $G\in C^{n\times m}$，使得

$$\begin{array}{c} AGA=A\\ GAG=G\\ (AG)^H=AG\\ (GA)^H=GA \end{array}$$

则称 $G$ 为 $A$ 的 Moore-Penrose 广义逆，简称为 M-P 广义逆，记为 $A^+$

对于任意 $A\in C^{m\times n}$，一定有 M-P 广义逆 $A^+$ 存在且唯一

【M-P 广义逆的性质】

M-P 广义逆 $A^+$ 具有许多与普通逆矩阵 $A^{-1}$ 相似的性质：

• $(A^+)^+=A$
• $(A^+)^H=(A^H)^+$
• $(\lambda A^+)=\frac{1}{\lambda}A^+,\lambda\neq0\in C$
• $A^H=A^HAA^+=A^+AA^H$
• $A^+=(A^HA)^+A^H=A^H(AA^H)^+$
• 若 $F$ 为列满秩矩阵，$G$ 为行满秩矩阵，则 $(FG)^+=G^+F^+$
• 若 $U^HU=I_m$，$V^HV=I_n$，则 $(UAV)^+=V^HA^+U^H$
• $\text{rank }A=\text{rank }A^+=\text{rank }A^+A=\text{rank }AA^+$
• $\text{rank }A=m-\text{rank }(I_m-AA^+)=n-\text{rank }(I_n-A^+A)$

【M-P 广义逆的求法】

对于矩阵 $A\in C^{m\times n}$，若想求其广义逆，需对 $A$ 作满秩分解

$$A=FG$$

则有

$$A^+=G^+F^+=G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H$$

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例如

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & -1 & -1 & -2 \\ 3 & 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$$

对 $A$ 作满秩分解，有

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}= FG$$

可得

$$\begin{array}{c} G^T(GG^T)^{-1}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \\ (F^TF)^{-1}F^T=\frac{1}{18}\begin{bmatrix} -9 & 0 & 9 \\ 13 & -2 & -5 \end{bmatrix} \end{array}$$

故

$$A^+=G^T(GG^T)^{-1}(F^TF)^{-1}F^T=\frac{1}{180}\begin{bmatrix} -45 & 0 & 45 \\ -45 & 0 & 45 \\ 26 & -4 & -10 \\ 52 & -8 & -20 \end{bmatrix}$$