假设检验

【概述】

统计推断的两大基本问题，一类是估计问题，另一类即假设检验问题

在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，例如提出总体服从泊松分布的假设，又如正态总体提出数学期望等于 ${\mu }_0$ 的假设等

需要的根据样本对所提出的假设作出接受还是拒绝的决策，作出决策的这一过程，即假设检验

简单来说，假设检验就是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息来判断这一假设是否成立

处理参数的假设检验问题步骤如下：

1. 根据实际问题，提出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$
2. 给定显著性水平 $\alpha$ 与样本容量 $n$
3. 确定检验统计量与拒绝域形式
4. 按 $P\{\mathrm{当}{H}_0\mathrm{为}\mathrm{真}\mathrm{拒}\mathrm{绝}{H}_0\}\le \alpha$ 求出拒绝域
5. 取样，根据样本观察值作出决策，是接受 $H_0$ 还是拒绝 $H_0$

【原假设与备择假设】

在假设检验时，通常会设置两个互斥的假设：

• 原假设 $H_0$：一般是想要拒绝的假设，其设置一般为 $=,\ge ,\le$
• 备择假设 $H_1$：一般是想要接受的假设，其设置一般为 $\ne ,>,<$

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例如：某车间用一台包装机包装葡萄糖，袋装糖的净重是一个随机变量，其服从正态分布，当机器正常时，其均值为 $0.5kg$，标准差为 $0.015kg$，某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖 $9$ 袋，称得净重为（kg）

$$\begin{array}{}0.497& 0.506& 0.518& 0.524& 0.498& 0.511& 0.520& 0.515& 0.512\end{array}$$

问该机器是否正常？

以 $\mu ,\sigma$ 分别表示这一天袋装糖的净重总体 $X$ 的均值和标准差，由于长期实践表明标准差比较稳定，故设 $\sigma =0.015$，那么就有 $X\sim N(\mu ,0.015)$，此时 $\mu$ 未知

问题是根据样本值来判断 $\mu =0.5$ 还是 $\mu \ne 0.5$，为此提出两个相互对立的假设：

$$H_0:\mu ={\mu }_0=0.5H_1:\mu ={\mu }_0$$

然后，给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出决策是接受 $H_0$（拒绝 $H_1$），还是拒绝 $H_0$（接受 $H_1$）

如果作出的决策是接受 $H_0$，就认为 $\mu ={\mu }_0=0.5$，即认为机器工作是正常的，否则认为机器工作是不正常的

【两类错误与显著性检验】

通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立，但样本是随机的，因而有可能出现小概率的错误，这种错误分两种：

• 弃真错误（第 Ⅰ 类错误、$\alpha$ 错误）：原假设实际上是真的，但通过样本估计总体后，拒绝了原假设
• 取伪错误（第 Ⅱ 类错误、$\beta$ 错误）：原假设实际上是假的，但通过样本估计总体后，接受了原假设

对于弃真错误来说，将这中错误的概率记为 $P\{\mathrm{当}{H}_0\mathrm{为}\mathrm{真}\mathrm{拒}\mathrm{绝}\}$，由于无法排除犯这种错误的可能性，因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数 $\alpha ,0<\alpha <1$，使犯这类错误的概率不超过 $\alpha$，即：

$$P\{\mathrm{当}{H}_0\mathrm{为}\mathrm{真}\mathrm{拒}\mathrm{绝}\}\le \alpha$$

这个 $\alpha$ 被称为显著性水平，在假设检验之前通常会规定这个值的大小

同理，对于取伪错误来说，有：

$$P\{\mathrm{当}{H}_0\mathrm{为}\mathrm{假}\mathrm{接}\mathrm{受}\}\le \beta$$

这也是原假设一般都是想要拒绝的假设的原因，因为原假设被拒绝，如果出错的话，只会犯弃真错误，而犯弃真错误的概率已经被规定的显著性水平所控制了，这样对统计者来说更容易控制，将错误影响降到最小

在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小，但一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大，若要使犯两类错误的概率都减小，除非增加样本容量

在给定样本容量的情况下，一般来说，总是控制犯第 Ⅰ 类错误的概率，使它不大于 $\alpha$，$\alpha$ 的大小视具体情况而定，通常取 $0.1,0.05,0.01,0.005$ 等值

这种只对犯第 Ⅰ 类错误的概率加以控制，而不考虑犯第 Ⅱ 类错误的概率的检验，称为显著性检验

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接上例，在给出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ 后，可以发现要检验的假设涉及总体均值 $\mu$，那么首先能够想到的就是能否借助样本均值 $\bar{X}$ 这一统计量进行判断

由于 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计，$\bar{X}$ 的观察值 $\bar{x}$ 的大小在一定程度上反映了 $\mu$ 的大小，为此若假设 $H_0$ 为真，那么观察值 $\bar{x}$ 与 ${\mu }_0$ 的偏差 $|\bar{x}-{\mu }_0|$ 一般不应太大，若 $|\bar{x}-{\mu }_0|$ 过大，就怀疑 $H_0$ 的正确性而拒绝 $H_0$

同时，考虑到当 $H_0$ 为真时，有 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，而衡量 $|\bar{x}-{\mu }_0|$ 的大小可归结为衡量 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$ 的大小，为此可设定一个正数 $k$，当观察值 $\bar{x}$ 满足 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\ge k$ 时就拒绝 $H_0$，反之就接受 $H_0$

为确定常数 $k$，给出显著性水平 $\alpha$，那么有：

$$P\{\mathrm{当}{H}_0\mathrm{为}\mathrm{真}\mathrm{拒}\mathrm{绝}{H}_0\}=P_{{\mu }_0}\{|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|\ge k\}=\alpha$$

由于当 $H_0$ 为真时，$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，那么由标准正态分布分位点的定义可得：

$$k=z_{\frac{\alpha }{2}}$$

因而，若检验统计量 $Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$ 的观察值满足：

$$|z|=|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|\ge k=z_{\frac{\alpha }{2}}$$

此时 $\bar{x}$ 与 ${\mu }_0$ 的差异是显著的，那么拒绝 $H_0$，反之， $\bar{x}$ 与 ${\mu }_0$ 的差异是不显著，接受 $H_0$

在本例中，若给出显著性水平 $\alpha =0.05$，那么有 $k=z_{0.05/2}=z_{0.025}=1.96$，又已知 $n=9,\sigma =0.015$，由样本可得 $\bar{x}=0.511$，故有

$$|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}|=2.2>1.96$$

于是拒绝 $H_0$，认为这天包装机工作不正常

【拒绝域与临界点】

当检验统计量取某个区域 $C$ 中的值时，拒绝原假设 $H_0$，则称 $C$ 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点

在上例中，拒绝域为：

$$|z|\ge z_{\frac{\alpha }{2}}$$

临界点为：

$$z=-z_{\frac{\alpha }{2}}z=z_{\frac{\alpha }{2}}$$

【双边检验与单边检验】

形如上例中的备择假设 $H_1:\mu ={\mu }_0$，表示 $\mu$ 可能大于 ${\mu }_0$，也可能小于 ${\mu }_0$，这种假设称为双边备择假设，其假设检验被称为双边假设检验

而形如

$$H_0:\mu \le {\mu }_0{H}_1:\mu >{\mu }_0$$

的假设检验，称为右边检验

类似的，形如

$$H_0:\mu \ge {\mu }_0{H}_1:\mu <{\mu }_0$$

的假设检验，称为左边检验

右边检验和左边检验，统称为单边检验