【概述】

统计推断的两大基本问题，一类是估计问题，另一类即假设检验问题

在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，例如提出总体服从泊松分布的假设，又如正态总体提出数学期望等于 $\mu_0$ 的假设等

需要的根据样本对所提出的假设作出接受还是拒绝的决策，作出决策的这一过程，即假设检验

简单来说，假设检验就是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息来判断这一假设是否成立

处理参数的假设检验问题步骤如下：

根据实际问题，提出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$
给定显著性水平 $\alpha$ 与样本容量 $n$
确定检验统计量与拒绝域形式
按 $P\{当 H_0 为真拒绝 H_0\}\leq \alpha$ 求出拒绝域
取样，根据样本观察值作出决策，是接受 $H_0$ 还是拒绝 $H_0$

【原假设与备择假设】

在假设检验时，通常会设置两个互斥的假设：

原假设 $H_0$：一般是想要拒绝的假设，其设置一般为 $=,\geq,\leq$
备择假设 $H_1$：一般是想要接受的假设，其设置一般为 $\neq,>,<$

例如：某车间用一台包装机包装葡萄糖，袋装糖的净重是一个随机变量，其服从正态分布，当机器正常时，其均值为 $0.5kg$，标准差为 $0.015kg$，某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖 $9$ 袋，称得净重为（kg）

$\begin{array}{} 0.497 & 0.506 & 0.518 & 0.524 & 0.498 & 0.511 & 0.520 & 0.515 & 0.512 \end{array}$

问该机器是否正常？

以 $\mu,\sigma$ 分别表示这一天袋装糖的净重总体 $X$ 的均值和标准差，由于长期实践表明标准差比较稳定，故设 $\sigma=0.015$，那么就有 $X\sim N(\mu,0.015)$，此时 $\mu$ 未知

问题是根据样本值来判断 $\mu=0.5$ 还是 $\mu\neq0.5$，为此提出两个相互对立的假设：

$H_0:\mu=\mu_0=0.5 \quad H_1:\mu=\mu_0$

然后，给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出决策是接受 $H_0$（拒绝 $H_1$），还是拒绝 $H_0$（接受 $H_1$）

如果作出的决策是接受 $H_0$，就认为 $\mu=\mu_0=0.5$，即认为机器工作是正常的，否则认为机器工作是不正常的

【两类错误与显著性检验】

通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立，但样本是随机的，因而有可能出现小概率的错误，这种错误分两种：

弃真错误（第 Ⅰ 类错误、$\alpha$ 错误）：原假设实际上是真的，但通过样本估计总体后，拒绝了原假设
取伪错误（第 Ⅱ 类错误、$\beta$ 错误）：原假设实际上是假的，但通过样本估计总体后，接受了原假设

对于弃真错误来说，将这中错误的概率记为 $P\{当 H_0 为真拒绝 \}$，由于无法排除犯这种错误的可能性，因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数 $\alpha,0<\alpha<1$，使犯这类错误的概率不超过 $\alpha$，即：

$P\{当 H_0 为真拒绝 \}\leq \alpha$

这个 $\alpha$ 被称为显著性水平，在假设检验之前通常会规定这个值的大小

同理，对于取伪错误来说，有：

$P\{当 H_0 为假接受 \}\leq \beta$

这也是原假设一般都是想要拒绝的假设的原因，因为原假设被拒绝，如果出错的话，只会犯弃真错误，而犯弃真错误的概率已经被规定的显著性水平所控制了，这样对统计者来说更容易控制，将错误影响降到最小

在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小，但一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大，若要使犯两类错误的概率都减小，除非增加样本容量

在给定样本容量的情况下，一般来说，总是控制犯第 Ⅰ 类错误的概率，使它不大于 $\alpha$，$\alpha$ 的大小视具体情况而定，通常取 $0.1,0.05,0.01,0.005$ 等值

这种只对犯第 Ⅰ 类错误的概率加以控制，而不考虑犯第 Ⅱ 类错误的概率的检验，称为显著性检验

接上例，在给出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ 后，可以发现要检验的假设涉及总体均值 $\mu$，那么首先能够想到的就是能否借助样本均值 $\overline{X}$ 这一统计量进行判断

由于 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计，$\overline{X}$ 的观察值 $\overline{x}$ 的大小在一定程度上反映了 $\mu$ 的大小，为此若假设 $H_0$ 为真，那么观察值 $\overline{x}$ 与 $\mu_0$ 的偏差 $|\overline{x}-\mu_0|$ 一般不应太大，若 $|\overline{x}-\mu_0|$ 过大，就怀疑 $H_0$ 的正确性而拒绝 $H_0$

同时，考虑到当 $H_0$ 为真时，有 $\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，而衡量 $|\overline{x}-\mu_0|$ 的大小可归结为衡量 $\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ 的大小，为此可设定一个正数 $k$，当观察值 $\overline{x}$ 满足 $\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\geq k$ 时就拒绝 $H_0$，反之就接受 $H_0$

为确定常数 $k$，给出显著性水平 $\alpha$，那么有：

$P\{当H_0为真拒绝H_0\} = P_{\mu_0}\Bigg\{\Bigg|\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Bigg| \geq k \Bigg\} =\alpha$

由于当 $H_0$ 为真时，$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，那么由标准正态分布分位点的定义可得：

$k=z_{\frac{\alpha}{2}}$

因而，若检验统计量 $Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ 的观察值满足：

$|z| = \Bigg| \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Bigg| \geq k = z_{\frac{\alpha}{2}}$

此时 $\overline{x}$ 与 $\mu_0$ 的差异是显著的，那么拒绝 $H_0$，反之， $\overline{x}$ 与 $\mu_0$ 的差异是不显著，接受 $H_0$

在本例中，若给出显著性水平 $\alpha=0.05$，那么有 $k=z_{0.05/2}=z_{0.025}=1.96$，又已知 $n=9,\sigma=0.015$，由样本可得 $\overline{x}=0.511$，故有

$\Bigg| \frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Bigg| =2.2 > 1.96$

于是拒绝 $H_0$，认为这天包装机工作不正常

【拒绝域与临界点】

当检验统计量取某个区域 $C$ 中的值时，拒绝原假设 $H_0$，则称 $C$ 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点

在上例中，拒绝域为：

$|z| \geq z_{\frac{\alpha}{2}}$

临界点为：

$z=-z_{\frac{\alpha}{2}} \quad z=z_{\frac{\alpha}{2}}$

【双边检验与单边检验】

形如上例中的备择假设 $H_1:\mu=\mu_0$，表示 $\mu$ 可能大于 $\mu_0$，也可能小于 $\mu_0$，这种假设称为双边备择假设，其假设检验被称为双边假设检验

而形如

$H_0:\mu\leq\mu_0 \quad H_1:\mu>\mu_0$

的假设检验，称为右边检验

类似的，形如

$H_0:\mu\geq\mu_0 \quad H_1:\mu<\mu_0$

的假设检验，称为左边检验

右边检验和左边检验，统称为单边检验