【浮点数表示】
表示格式
通常，浮点数被表示为：
其中，$r$ 是浮点数阶码的底，与尾数的基数相同，通常 $r=2$，$E$、$M$ 是带符号的定点数，$E$ 被称为阶码，$M$ 被称为尾数
如下图，显示了浮点数的一般格式，阶符 $J_f$ 和阶码的位数 $m$ 合起来反映浮点数的表示范围与小数点的实际位置，数符 $S_f$ 表示浮点数的符号，尾数的位数 $n$ 反映了浮点数的精度
规格化浮点数
规格化操作
为了提高运算的精度，需要充分地利用尾数的有效数位，通常采取浮点数规格化形式，即规定尾数的最高数位必须是一个有效值
非规格化浮点数需要进行规格化操作才能变成规格化浮点数，规格化操作就是通过调整一个非规格化浮点数的尾数和阶码的大小，使非零的浮点数在尾数的最高数位上保证是一个有效值
规格化操作有以下两种：
- 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，阶码 $-1$ 的
- 右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为 $01$ 或 $10$）时，将尾数算术右移一位，阶码 $+1$
左规可能要进行多次，右规只需进行一次
规格化尾数
在规格化后，规格化浮点数的尾数 $M$ 的绝对值应满足：
在计算机中，常取 $r=2$，故有：
而规格化表示的尾数形式如下：
1.原码规格化
对于正数为 $0.1xx···x$ 的形式，其最大值表示为 $0.11···1$，最小值表示为 $0.100···0$，此时尾数的表示范围为：
对于负数为 $1.1xx···x$的形式，其最大值表示为 $1.10···0$，最小值表示为 $1.11··1$，此时尾数的表示范围为：
2.补码规格化
对于正数为 $0.1xx···x$ 的形式，其最大值表示为 $0.11···1$，最小值表示为 $0.100···0$，此时尾数的表示范围为：
对于负数为 $1.0xx···x$ 的形式，其最大值表示为 $1.01···1$，最小值表示为 $1.00···0$，此时尾数的表示范围为：
需要注意的是，当浮点数尾数的基数为 $2$ 时，原码规格化数的尾数最高位一定是 $1$，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反
同时，基数不同，浮点数的规格化形式也不同，例如：当基数为 $4$ 时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为 $0$；当基数为 $8$ 时，原码规格化形式的尾数最高 $3$ 位不全为 $0$
溢出
当运算结果大于最大正数称为正上溢，小于绝对值最大负数称为负上溢，正上溢和负上溢统称为上溢，数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理
当运算结果在 $0$ 至最小正数之间称为正下溢，在 $0$ 至绝对值最小负数之间称为负下溢，正下溢和负下溢统称为下溢，数据下溢时，浮点数数值趋于 $0$，计算机会将其当作机器零进行处理
IEEE754 标准
IEEE754 标准规定常用的浮点数格式如下
在该标准中，规定常用的浮点数格式有短浮点数（单精度 float 型）、长浮点数（双精度 double 型）、临时浮点数上中年，具体格式要求如下表
对于短浮点数和长浮点数来说，尾数用隐藏位策略的原码表示，阶码用移码表示，故对于真值，有：
- 短浮点数：$(-1)^s \times 1.M \times 2^{E-127}$
- 长浮点数：$(-1)^s \times 1.M \times 2^{E-1023}$
其中，$s=0$ 表示正数，$s=1$ 表示负数；短浮点数 $E$ 为 $8$ 位表示，其取值为 $1 \sim 254$，$M$ 为 $23$ 位，共 $32$ 位；长浮点数 $E$ 的取值为 $11$ 位表示，其取值为 $1\sim 2046$，$M$ 为 $52$ 位 ，共 $64$ 位
综上，IEEE754 标准浮点数范围可见下表：
| 格式 | 最小值 | 最大值 |
|---|---|---|
| 单精度 | $E=1$，$M=0$ $1.0\times 2^{1-127}=2^{-126}$ |
$E=254$，$M=.111…$ $1.111…1\times 2^{254-127}=2^{127}\times (2-2^{-23})$ |
| 双精度 | $E=1$，$M=0$ $1.0\times 2^{1-1023}=2^{-1022}$ |
$E=2046$，$M=.111…$ $1.111…1\times 2^{2046-1023}=2^{1023}\times (2-2^{-52})$ |
【浮点数的加减运算】
步骤
浮点数的加减运算一律采用补码，其特点是阶码运算和尾数运算分开进行，具体步骤如下：
1.对阶
对阶的目的是使两个操作数的小数点位置对齐，即使两个数的阶码相等
对阶的步骤是：先求阶差，然后按小阶向大阶看齐的原则，将阶码小的尾数右移一位，同时阶 $+1$，直到两个数的阶码相等为止
要注意的是，在进行尾数右移时，舍弃掉有效位会产生误差，影响计算精度
2.尾数求和
在对阶后，将对阶的尾数按定点数加减运算规则进行计算
关于定点数加减法的运算规则具体见：定点数的表示与加减运算
3.规格化
以双符号位为例，当尾数大于 $0$ 时，其补码规格化形式为：
当尾数小于 $0$ 时，其补码规格化形式为：
可见，当尾数最高数值位与符号位不同时，即为规格化形式
规格化分为左规和右规两种：
- 左规：当尾数出现 $00.0xx…x$ 或 $11.1xx…x$ 时，需要进行左规，即尾数左移 $1$ 位，和的阶码 $-1$，直到尾数为 $00.1xx…x$ 或 $11.0xx…x$
- 右规：当尾数求和结果溢出，即尾数出现 $10.xx…x$ 或 $01.xx…x$ 的形式时，需要进行右规，即尾数右移 $1$ 位，和的阶码 $+1$
4.舍入
在对阶和右规的过程中，对尾数进行了舍入，这个过程可能会将尾数低位丢失，引起误差，影响精度
常见的舍入方法两种有：
- $0$ 舍 $1$ 入法：类似于十进制数运算中的四舍五入即在尾数右移时，被移去的最高数值位为 $0$，则舍去；被移去的最高数值位为 $1$，则在尾数的末位 $+1$，这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规
- 恒置 $1$ 法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是 $1$ 还是 $0$，都使右移后的尾数末位恒置 $1$，这种方法可能会使尾数变大，也可能会使尾数变小
5.溢出判断
与定点数加减法一样，浮点数加减运算最后一步也需判断溢出
在浮点数规格化中已指出，当尾数之和或尾数之差出现 $01.xx···x$或 $10.xx···x$ 时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点数运算结果是否溢出
而浮点数的溢出与否是由阶码的符号决定的，以双符号位补码为例，当阶码的符号位出现 $01$ 时，即阶码大于最大阶码，表示上溢，进入中断处理；当阶码的符号位出现 $10$ 时，即阶码小于最小阶码，表示下溢，按机器零处理
实际原理还是阶码符号位不同表示溢出，且真实符号位和高位符号位一致
实例
设浮点数阶码、尾数用补码表示，采用双符号位，阶码位数为 $5$，尾数位数为 $7$
已知 $x=2^7 \times \frac{29}{32}$，$y=2^5\times \frac{5}{8}$，求 $x+y$
对于 $x$，将其转成二进制形式有：
对于 $y$，将其转成二进制形式有：
首先进行对阶，$x$、$y$ 的阶码相减有：
易得 $x$ 阶码比 $y$ 大 $2$，将 $y$ 的阶码 $+2$，尾数右移 $2$ 位，有：
之后，令对阶后的 $x$、$y$ 的尾数相加，有：
可以发现符号位为 $01$，需要进行右规
令尾数右移一位，阶码 $+1$，有：
此时，阶码符号位为 $01$，可以判断发生上溢，进入中断处理
