【范数】

定义：$||x||_p=(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$，p 阶范数，记做 $L_p$

根据 x 是矩阵还是向量，分为向量范数、矩阵范数，其中矩阵范数是由向量范数推导过来的，含义相近

对于常用的向量范数有：

当 p=0 时：$L_0=(\sqrt[0]{\sum_{i=1}^n|x_t|^0})=i|x_i\neq 0$，即向量中非 0 个数
当 p=1 时：$L_1=\sum_i|x_i|$，即向量中所有元素的绝对值的和
当 p=2 时：$L_2=\sqrt{\sum_i x_i^2}$，即向量的元素平方和
当 $p=\infty$ 时：$L_\infty=max\{x_i\}$，即向量的元素最大值
当 $p=-\infty$ 时：$L_{-\infty}=min\{x_i\}$，即向量的元素最小值

对于常用的矩阵范数有：

当 p=1 时：$L_1$ 为矩阵中列元素的绝对值的和的最大值，等价于 max(sum(abs(a)))
当 p=2 时：$L_2$ 为矩阵的最大奇异值
当 $p=\infty$ 时：$L_\infty$ 为矩阵的转置的列元素绝对值和的最大值，等价于 max(sum(abs(a')))
当 $p=-\infty$ 时：$L_{-\infty}$为转置矩阵与矩阵乘积取对角后的和的开方，等价于 sqrt(sum(a'*a))

在 matlab 中，利用 norm() 求范数：

norm(x,p)：返回 x 的 p 阶范数，默认 p=2

1 2	>> norm([1:6],2) ans = 9.5394

由于矩阵的二阶范数并不好计算，有时会花费过长的时间，当只需给一个近似范数值时，利用 normest() 来计算二阶范数

normest(x)：计算矩阵 x 的二阶范数
normest(x,tol)：计算矩阵 x 的二阶范数，相对误差为 tol

1
2
3

>> a=[1,2,3;3,4,5;7,8,9];
>> normest(a)
ans = 16.02158

【矩阵的秩】

行秩：矩阵中线性无关的行向量

列秩：矩阵中线性无关的列向量

在 matlab 中，利用 rank() 来求矩阵的秩

rank(A)：以默认误差来计算 A 的秩，默认误差为：max(size(a))*eps(norm(a))
rank(A,tol)：以 tol 指定相对误差来计算 A 的秩

1
2
3

>> a=magic(3);
>> rank(a)
ans = 3

【行列式】

在 matlab 中，利用 det(A) 来求矩阵的行列式

1
2
3

>> a=magic(5);
>> det(a)
ans = 507000

【矩阵的迹】

定义：矩阵对角元素和

在 matlab 中，利用 trace() 来计算矩阵的迹

1
2
3

>> a=magic(5);
>> trace(a)
ans = 65

【矩阵的化零矩阵】

定义：对于非满秩矩阵 A，若存在矩阵 B 使 AB=0，且 BB‘=I，则称矩阵 B 为矩阵 A 的化零矩阵

在 matlab 中，利用 null() 求矩阵的化零矩阵，若不存在返回空矩阵

>> a=magic(3);
>> null(a)
ans = 空矩阵: 3×0

>> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> null(a)
ans =
   -0.4082
    0.8165
   -0.4082

【矩阵的正交空间】

定义：矩阵 A 的正交空间 Q，具有 Q’Q=I 的性质，且 Q 的列向量构成的线性空间与 A 的列向量构成的线性空间相同，同时，Q 与 A 具有相同的秩

在 matlab 中，利用 orth() 来求正交空间

>> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> orth(a)
ans =
   -0.2148    0.8872
   -0.5206    0.2496
   -0.8263   -0.3879

【约化行阶梯形式】

在 matlab 中，利用 rref() 来将矩阵转为约化行阶梯形式

>> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> rref(a)
ans =
     1     0    -1
     0     1     2
     0     0     0

【矩阵夹角】

在 matlab 中，利用 subspace() 来求矩阵空间的夹角

>> a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> b=magic(3);
>> subspace(a,b)
ans = 6.8286e-16

【矩阵分解】

矩阵分解，是将一个复杂的矩阵分解为几个较简单的矩阵连乘的形式

在 matlab 中，各种调用方式均相似，以对称正定矩阵 Cholesky 分解为例：

R=chol(A)：返回对称正定矩阵 X 的上三角矩阵 R，使得 R’R=X

函数	作用
cholinc	稀疏矩阵的不完全 Cholesky 分解
lu	矩阵 LU 分解
luinc	稀疏矩阵的不完全 LU 分解
qr	QR 分解
svd	奇异值分解
gsvd	一般奇异值分解
schur	舒尔分解

>> a=pascal(3)
a =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6
>> r=chol(a)
r =
     1     1     1
     0     1     2
     0     0     1
>> r'*r
ans =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

【特征向量与特征值】

在 matlab 中，利用 eig() 来求矩阵的特征向量

d=eig(A)：求 A 的特征值向量 d
[x,d]=eig(A)：求满足 ax=xd 的矩阵 x、d

>> a=magic(3);
>> eig(a)
ans =
   15.0000
    4.8990
   -4.8990
 
>> [x,d]=eig(a)
x =
   -0.5774   -0.8131   -0.3416
   -0.5774    0.4714   -0.4714
   -0.5774    0.3416    0.8131
d =
   15.0000         0         0
         0    4.8990         0
         0         0   -4.8990

【稀疏矩阵】

由于稀疏矩阵的特性，其按列存储的方式过于占用存储空间，因此在 matlab 中，以 (行,列) 值 的方式对稀疏矩阵存储

sparse(A)：生成稀疏矩阵 A，若 A 已经为一个稀疏矩阵，返回 A 本身
full(A)：将稀疏矩阵 A 转为满矩阵

>> sparse([1,2,3;0,0,0;0,1,0])
ans =
   (1,1)        1
   (1,2)        2
   (3,2)        1
   (1,3)        3
>> full(ans)
ans =
     1     2     3
     0     0     0
     0     1     0

Alex_McAvoy

Matlab 矩阵进阶