【多项式】

多项式：$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+…+a_nx^0$

用系数来表示：$a_0a_1a_2…a_n$

例如：$2x^4+3x^2+x+1$

1	p=[2 0 3 1 1]

poly2sym(A)：A是一个行向量，代表一个多项式的系数，利用该行向量构建一个符号类型的多项式

>> p=[2 0 3 1 1];
>> poly2sym(p)
ans =
    2*x^4 + 3*x^2 + x + 1

【多项式的根】

roots(A)：A 是一个行向量，代表一个多项式的系数，用于求解该多项式的根

>> p=[2 0 3 1 1];
>> roots(p)
ans =
   0.2459 + 1.1484i
   0.2459 - 1.1484i
  -0.2459 + 0.5496i
  -0.2459 - 0.5496i

poly(A)：A 是一个行向量，代表一个多项式的根，利用根求出该多项式的系数

>> r=[1 -2 3]
>> poly(r)
ans =
     1    -2    -5     6

【多项式运算】

加减法：

两个多项式阶次相同时，与数组元素加减法相同
两个多项式阶次不同时，低阶的多项式用首 0 填补，使其与高阶多项式有同样的阶次

function res=add_and_sub(a,b)
if nargin~=2
    error('参数个数错误')
end

a=a(:).';
b=b(:).';
len_a=length(a);
len_b=length(b);
res=[zeros(1,len_b-len_a) a]+[zeros(1,len_a-len_b) b];

乘法：

conv(A,B)：执行 A,B 两向量的卷积运算
conv(a,b,'shape')：按形参 ‘shape’ 返回卷积运算，取值如下：
- full：返回完整的卷积，默认值
- same：返回部分卷积，其大小与向量 A 大小相同
- valid：只返回无填充 0 部分的卷积，此时输出向量 c 的最大值为 max(length(a) - max(0,length(b) - 1),0)

>> A=[1 1];
>> B=[2 0];
>> conv(A,B)
ans =
     2     2     0

除法：[q,r] = deconv(A,B)：求多项式 A,B 的除法运算，其中 q 为返回多项式 B 除以 A 的商式，r 为返回 B 除以 A 的余式，即：B*q+r=A

>> A=[1 2 3 4 5]
A =
     1     2     3     4     5
>> B=[1 2 3]
B =
     1     2     3
>> [q,r]=deconv(A,B)
q =
     1     0     0
r =
     0     0     0     4     5

【多项式导数】

polyder(A)：求多项式 A 的导函数多项式
polyder(A,B)：求多项式 A 与多项式 B 乘积的导函数多项式
[q,d] = polyder(b,a)：求多项式 B 与多项式 A 相除的导函数，导函数的分子存入q，分母存入 d

>> a = [3 6 9];
>> b = [1 2 0];
>> k = polyder(a,b)
k =
    12    36    42    18
>> K = poly2str(k,'x')
K =
   12 x^3 + 36 x^2 + 42 x + 18
>> [q,d] = polyder(b,a)
q =
    18    18
d =
     9    36    90   108    81

【多项式的积分】

polyint(p,k)：返回以向量 p 为系数的多项式积分，积分的常数项为 k，k 默认为 0

例如：多项式为 $x^2-x+2$，常数项为 $\frac{1}{2}$

有：$\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}$

>> p = [1 -1 2];
>> k = 1/2;
>> F = polyint(p,k)
F =
    0.3333   -0.5000    2.0000    0.5000
>> df = poly2sym(F)
df =
    x^3/3 - x^2/2 + 2*x + 1/2

【多项式估值】

y = polyval(p,x)：p 为多项式的系数向量，x 为矩阵，按数组运算规则来求多项式的值

>> x=[0:0.1:1]
x =
  1 至 9 列
    0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000
         
  10 至 11 列
    0.9000    1.0000

>> f=[1 2 3 4 5]
f =
     1     2     3     4     5
>> polyval(f,x)
ans =
  1 至 9 列
    5.0000    5.4321    5.9376    6.5321    7.2336    8.0625    9.0416   10.1961   11.5536

  10 至 11 列
   13.1441   15.0000

【有理多项式】

matlab 中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。

有理多项式展开

[r,p,k]=redidue(a,b)：对有理多项式 $\frac{a}{b}$ 进行分式展开，r 为留数行向量，p 为极点行向量，k 为直项行向量，a 为分子多项式，b 为分母多项式

例如：$P(x)=\frac{x^3+2x^2+3x+4}{4x^3+5x^2+6x+7}$

分子项：a=[1 2 3 4]，分母项：b=[4 5 6 7]

进行 redidue(a,b)后有：

>> a=[1 2 3 4];
>> b=[4 5 6 7];
>> [r,p,k]=residue(a,b)
r =
   0.1341 + 0.0000i
   0.0267 - 0.1262i
   0.0267 + 0.1262i
p =
  -1.2078 + 0.0000i
  -0.0211 + 1.2035i
  -0.0211 - 1.2035i
k =
    0.2500

那么，$P(x)$可表达为：$P(x)=\frac{r1}{x+p1}+\frac{r2}{x+p2}+\frac{r3}{x+p3}+k$

即：$P(x)=\frac{0.1341}{x-1.2078}+\frac{0.0267 - 0.1262i}{x-0.0211 + 1.2035i}+\frac{0.0267 + 0.1262i}{x-0.0211 - 1.2035i}+0.25$

有理多项式展开的逆运算

[b,a] = residue(r,p,k)：根据 r 留数行向量，p 极点行向量，k 直项行向量，进行展开的逆运算，得到 a 分子多项式，b 分母多项式

>> r =[0.1341, 0.0267 - 0.1262i, 0.0267 + 0.1262i];
>> p =[-1.2078, -0.0211 + 1.2035i, -0.0211 - 1.2035i];
>> k = 0.25;
>> [a b]=residue(r,p,k)
a =
    0.2500    0.5000    0.7500    1.0000
b =
    1.0000    1.2500    1.5000    1.7500

Alex_McAvoy

Matlab 多项式