【更新过程】

Poisson 过程的到达时间间隔是相互独立同服从指数分布的随机变量序列，那么一种自然的推广是考虑到达时间间隔相互独立同分布，但分布函数任意的计数随机过程，这样的计数过程即更新过程

设 $\{T_n,n=1,2,\cdots\}$ 是一列相互独立同分布的非负随机变量，令

$\begin{array}{c} \tau_n=\sum_{k=1}^n T_k,\quad \tau_0=0\\ N(t)=\sup{\{n|\tau_n\leq t\}},\quad t\geq 0 \end{array}$

则称 $\{N(t),t\geq 0\}$ 为一更新过程，其状态空间 $S=\{0,1,2,\cdots\}$，称

$\tau_n,\quad n=0,1,2,\cdots$

为第 $n$ 个更新时刻，称

$T_n,\quad n=1,2,\cdots$

为第 $n$ 个更新间距

设 $T_1,T_2,\cdots,T_n,\cdots$ 的分布函数为 $F(t)$，概率密度函数为 $f(t)$，那么随机变量 $\tau_n$ 的概率密度函数为 $f(t)$ 的 $n$ 重卷积，设 $\mu=ET_n,n=1,2,\cdots$，由 $T_n$ 为非负随机变量且不恒为零，有

$F(0)=P(T_n=0)<1$

且事件 $\{N(t)=n\}$ 的概率为

$\begin{align*} P(N(t)=n) &= P(N(t)\geq n)-P(N(t)\geq n+1) \\ &= P(\tau_n\leq t)-P(\tau_{n+1}\leq t) \\ &= F_n(t)-F_{n+1}(t) \end{align*}$

其中，$F_n(t)=P(\tau_n\leq t)$ 是 $F(t)$ 的 $n$ 重卷积

【更新函数】

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是一更新过程，称

$\mu_{N}(t)=E[N(t)],\quad t\geq 0$

为 $\{N(t),t\geq 0\}$ 的更新函数，其与更新时刻 $\tau_n$ 的分布函数 $F_n(t)$ 之间有如下关系

$\mu_N(t)=\sum_{n=1}^{\infty}F_n(t)$

若记 $N(+\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ 为所发生的更新总数，那么以概率 $1$ 有

$N(+\infty)=+\infty$

这是因为使所发生的更新总数 $N(+\infty)$ 为有限的唯一方法是有一更新间隔为无穷大，因此

$P(N(+\infty)<+\infty)=P(\bigcup_{n=1}^{\infty}(T_n=+\infty))\leq \sum_{n=1}^{\infty} P(T_n=+\infty)=0$

于是，当 $t$ 趋于无穷时，$N(+\infty)$ 趋于无穷，所以 $N(t)$ 趋于无穷的速度就是要关心的问题，即以概率 $1$，有

$\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{ET_n}$

设 $g(t),h(t)$ 是定义在 $t\geq 0$ 上的函数，$F(t)$ 为分布函数，若满足

$g(t)=h(t)+\int_{0}^t g(t-s) dF(s)$

则称上述方程为更新方程，其中，若 $h(t)$ 和 $F(t)$ 是已知函数，而 $g(t)$ 是未知函数，则 $g(t)$ 可作为上述积分方程的解来确定

对于更新过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，更新间距的分布函数为 $F(t)$，那么更新函数 $\mu_N(t)$ 满足更新方程，即

$\mu_N(t)=F(t)+\int_{0}^t \mu_N(t-s)dF(s)$

也就说，如果知道了更新过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 的更新间距的分布函数 $F(t)$，那么通过解上述的更新方程即可求得更新函数 $\mu_N(t)$

对于更新过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，$T_1,T_2,\cdots,T_n,\cdots$ 为更新间距，则有

$\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{\mu_{N}(t)}{t}=\frac{1}{ET_1}$