【引入】

泊松（Poisson）过程是一类直观意义很强且极为重要的计数过程，其应用范围遍布各个领域

考虑一个来到某服务点要求服务的顾客流，顾客到达服务点的到达过程，即可认为是一个 Poisson 过程，当抽象的服务点和顾客流有着不同含义时，即可得到不同的 Poisson 过程

在介绍 Poisson 过程前，首先给出计数过程和独立增量过程的定义

计数过程

对于实随机过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，若 $N(t)$ 代表到时刻 $t$ 随机事件发生的次数，这称该随机过程为计数过程，其满足以下条件：

$N(t)\geq 0$
$N(t)$ 是非负整数
对 $\forall 0\leq s <t$，有 $N(t)\geq N(s)$
对 $\forall 0\leq s <t$，$N(t)-N(s)$ 代表时间间隔 $t-s$ 内随机事件发生的次数

独立增量过程

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对 $\forall n\geq 3, \forall t_1<t_2<\cdots<t_n\in T$，有随机变量

$X(t_2)-X(t_1),X(t_3)-X(t_2),\cdots,X(t_n)-X(t_{n-1})$

相互独立，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是独立增量过程

设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对 $\forall s<t\in T$，$X(t)-X(s)$ 分布仅依赖于 $t-s$，与 $t,s$ 本身取值无关，则称 $\{X(t),t\in T\}$ 是平稳增量过程

那么，如果一个随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 既是独立增量过程，又是平稳增量过程，那么该随机过程被称为平稳的独立增量过程

【Poisson 过程】

定义

对于计数过程 $\{ N(t),t\geq 0\}$，若满足：

$N(0)=0$
$\{N(t),t\geq 0\}$ 是平稳的独立增量过程
对 $\forall t>0$，$N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的 Poisson 分布，即

$P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\cdots$

则称 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda>0$ 的 Poisson 过程

进一步，对 $\forall 0\leq s <t$，$N(t)-N(s)$ 服从参数为 $\lambda(t-s)$ 的 Poisson 分布

在实际应用中，Poisson 过程常采用如下等价定义

对于计数过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，若满足：

$N(0)=0$
$\{N(t),t\geq 0\}$ 是平稳的独立增量过程
当 $\Delta t$ 充分小时，在 $(t,t+\Delta t)$ 内事件出现一次的概率为 $\lambda\Delta t+o(\Delta t)$，出现两次及以上的概率为 $o(\Delta t)$，即

$\begin{array}{c} P(N(t+\Delta t)-N(t)=1)=\lambda \Delta t+ o(\Delta t) \\ P(N(t+\Delta t)-N(t)\geq 2)=o(\Delta t) \end{array}$

则称 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda>0$ 的 Poisson 过程

数字特征

若随机过程 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是 Poisson 过程，则有：

均值函数：$\mu_N(t)=\lambda t,t\geq 0$
方差函数：$\sigma_N(t)=\lambda t,t\geq 0$
协方差函数：$C_N(s,t)=\lambda \min(s,t),s,t\geq 0$
相关函数：$R_N(s,t)=\lambda^2st+\lambda \min(s,t),\:s,t\geq0$

【到达时间与到达时间间隔】

到达时间

设 $N(t)$ 表示直到 $t$ 时刻到达的随机点数，则 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程

令 $\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n,\cdots$ 分别表示第 $i$ 个随机点的到达时间，则称随机变量序列 $\{\tau_n,n=1,2,\cdots\}$ 为 Poisson 过程的到达时间序列

对于到达时间序列 $\{\tau_n,n=1,2,\cdots\}$ 中的随机变量 $\tau_n,n=1,2,\cdots$，其服从参数为 $n,\lambda$ 的伽马分布，即 $\tau_n\sim \Gamma(n,\lambda)$，有

$f_{\tau_n}(t)=\left\{\begin{array}{c} \lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{(n-1)}}{(n-1)!}, &t\geq 0\\ 0, &t<0 \end{array}\right.$

到达时间间隔

令 $T_n=\tau_n-\tau_{n-1}$ 且 $\tau_0=0$，则称随机变量序列 $\{T_n,n=1,2,\cdots\}$ 为 Poisson 过程的到达时间间隔序列

显然，有

$\tau_n=T_1+T_2+\cdots+T_n$

对于到达时间间隔序列 $\{T_n,n=1,2,\cdots\}$，其中的随机变量 $T_n,n=1,2,\cdots$ 相互独立且同服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，即 $T_n\sim E(\lambda)$，有

$f_{T_n}(t)=\left\{\begin{array}{c} \lambda e^{-\lambda t}, &t\geq 0\\ 0, &t<0 \end{array}\right.$

条件分布

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程，若在 $[0,t)$ 内仅有一个随机点到达，$\tau$ 为其到达时间，则 $\tau$ 服从 $[0,\tau)$ 上的均匀分布，即当 $0\leq s <t$ 时，有

$P(\tau\leq s|N(t)=1)=\frac{s}{t}$

进一步，若在 $[0,t)$ 内有 $n$ 个随机点到达，则 $n$ 个到达时间 $\tau_1<\tau_2<\cdots<\tau_n$ 和 $n$ 个相互独立且同服从 $[0,t)$ 上均匀分布的随机变量 $U_1,U_2,\cdots,U_n$ 的顺序统计量 $U_{(1)},U_{(2)},\cdots,U_{(n)}$ 同分布，即

$p(u_1,u_2,\cdots,u_n)=f_{(u)}(u_1,u_2,\cdots,u_n)=\left\{\begin{array}{c} \frac{n!}{t^n},& 0\leq u_1,u_2,\cdots,u_n<t \\ 0,& 其他 \end{array}\right.$

其中，$p(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 为 $(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n)$ 的联合概率密度函数，$f_{(u)}(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 为 $(U_{(1)},U_{(2)},\cdots,U_{(n)})$ 的联合概率密度函数

【非齐次 Poisson 过程】

对于计数过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，若满足：

$N(0)=0$
$\{N(t),t\geq 0\}$ 是平稳的独立增量过程
当 $\Delta t$ 充分小时，在 $(t,t+\Delta t)$ 内事件出现一次的概率为 $\lambda(t)\Delta t+o(\Delta t)$，出现两次及以上的概率为 $o(\Delta t)$，即

$\begin{array}{c} P(N(t+\Delta t)-N(t)=1)=\lambda(t) \Delta t+ o(\Delta t) \\ P(N(t+\Delta t)-N(t)\geq 2)=o(\Delta t) \end{array}$

则称 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda(t)$ 的非齐次 Poisson 过程

对于非齐次 Poisson 过程，$\forall t>0$ 时，在 $[t_0,t_0+t)$ 内，事件出现 $k$ 次的概率为

$P(N(t_0+t)-N(t_0)=k) = \frac{1}{k!} \Big[ m(t_0+t)-m(t_0) \Big]^k \exp\Big[ -\big[(m(t_0+t)-m(t_0)\big] \Big]$

其中，$m(t)=\int_{0}^t \lambda(s)ds$

例：某设备使用期限为十年，在前五年内平均 $2.5$ 年维修一次，后五年平均 $2$ 年维修一次，求在使用期间内只维修一次的概率

由于维修次数与使用时间有关，那么该过程是一非齐次 Poisson 过程，其参数为

$\lambda(t)=\left\{\begin{array}{c} \frac{1}{2.5}, & 0\leq t\leq 5\\ \frac{1}{2}, & 5<t \leq 10 \end{array}\right.$

则

$m(10)=\int_{0}^{10}\lambda(s)ds=\int_0^5\frac{1}{2.5}ds+\int_{5}^{10}\frac{1}{2}ds=4.5$

故所求概率为

$P(N(10)-N(0)=1)=4.5e^{-4.5}=\frac{9}{2}e^{-\frac{9}{2}}$

【条件 Poisson 过程】

设正值随机变量 $\Lambda$ 的分布函数为 $F(\lambda)$，若在 $\Lambda=\lambda$ 的条件下，$\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程，则称 $\{N(t),t\geq 0\}$ 为条件 Poisson 过程

其具有以下性质：

1）对 $\forall s,t\geq 0$，有

$P(N(t+s)-N(s)=k)=\int_{0}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t} dF(\lambda)$

2）若 $E\Lambda^2<+\infty$，则

$\begin{align*} \mu_N(t) &= tE\Lambda \\ \sigma_N(t) &= t^2D\Lambda+tE\Lambda \end{align*}$

3）在 $N(t)=n$ 的条件下，$\Lambda$ 的条件分布函数为

$P(\Lambda\leq x | N(t)=n) = \frac{ \int_{0}^{x}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t} dF(\lambda) }{ \int_{0}^{+\infty}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t} dF(\lambda) }$

例：某地区在某季节地震出现的平均强度是随机变量 $\Lambda$，其概率分布为 $P(\Lambda=\lambda_1)=p$，$P(\Lambda=\lambda_2)=1-p$，到 $t$ 时为止的地震次数是一条件 Poisson 过程 $\{N(t),t\geq 0\}$，求

1）该地区该季节在 $(0,t)$ 事件内，出现 $n$ 次地震的条件下，地震强度为 $\lambda_1$ 的概率

2）在 $N(t)=n$ 条件下，从 $t$ 时开始到下一次地震出现的条件分布

解：

1）该过程是条件 Poisson 过程，由于 $\Lambda$ 是离散型随机变量，故

$\begin{align*} & P(\Lambda=\lambda_1|N(t)=n) \\ =& \frac{P(\Lambda=\lambda_1)P(N(t)=n|\Lambda=\lambda_1)}{P(N(t)=n)} \\ =& \frac{p\frac{(\lambda_1 t)^n}{n!}e^{-\lambda_1 t}}{p\frac{(\lambda_1 t)^n}{n!}e^{-\lambda_1 t} + (1-p)\frac{(\lambda_2 t)^n}{n!}e^{-\lambda_2 t}} \\ =& \frac{p(\lambda_1 t)^ne^{-\lambda_1 t}}{p(\lambda_1 t)^ne^{-\lambda_1 t}+(1-p)(\lambda_2 t)^ne^{-\lambda_2 t}} \end{align*}$

2）设 $X$ 为从 $t$ 时开始到下次地震出现的时间，则

$P(X\leq x | N(t)=n)=\frac{p(1-e^{-\lambda_1x})(\lambda_1 t)^ne^{-\lambda_1 t}+(1-p)(1-e^{-\lambda_2 x})(\lambda_2 t)^ne^{-\lambda_2 t}}{p(\lambda_1 t)^ne^{-\lambda_1 t}+(1-p)(\lambda_2 t)^ne^{-\lambda_2 t}}$

【复合 Poisson 过程】

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程，$\{Y_n,n=1,2,\cdots\}$ 是相互独立同分布的实随机变量序列，且 $\{N(t),t\geq 0\}$ 与 $\{Y_n,n=1,2,\cdots\}$ 也相互独立，令

$X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y_n,\quad t\geq 0$

则称 $\{X(t),t\geq 0\}$ 为复合 Poisson 过程

其有如下几条性质：

1）$\{X(t),t\geq 0\}$ 的一维特征函数为

$f_{X(t)}(u)=\varphi(t;u)=e^{\lambda t(f(u)-1)}$

其中，$f(u)$ 是 $Y_n,n=1,2,\cdots$ 的特征函数

2）若 $EY_n^2<+\infty$，则

$\begin{array}{c} \mu_X(t)=\lambda t EY_N \\ \sigma_X(t)=\lambda t EY_N^2 \end{array}$

例：设移民到某地区定居的户数是一 Poisson 过程，平均每周有 $2$ 户定居，即 $\lambda=2$，如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为 $\frac{1}{6}$，一户三人的概率为 $\frac{1}{3}$，一户二人的概率为 $\frac{1}{3}$，一户一人的概率为 $\frac{1}{6}$，且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在五周内移民到该地区人口数的数学期望与方差

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是移民到该地区定居的户数所形成的 Poisson 过程，则其参数为 $\lambda=2$

再设 $Y_n$ 为第 $n$ 户的人口数，$X(t)$ 为移民的总人口数，则

$X(t)=\sum_{n=1}^{N(t)}Y_n$

从而 $\{X(t),t\geq 0\}$ 是一复合 Poisson 过程

由于

$\begin{array}{c} EY_n=4\times\frac{1}{6} + 3\times\frac{1}{3} + 2\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{1}{6} = \frac{5}{2} \\ EY_n^2=4^2\times\frac{1}{6} + 3^2\times\frac{1}{3} + 2^2\times\frac{1}{3} + 1^2\times\frac{1}{6} = \frac{43}{6} \end{array}$

故

$\begin{array}{c} E[X(5)]=2\times5\times\frac{5}{2}=25 \\ D[X(5)]=2\times5\times\frac{43}{6}=\frac{215}{3} \end{array}$

【过滤 Poisson 过程】

设 $\{N(t),t\geq 0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的 Poisson 过程，令

$X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)} h(t-t_i),t\geq0$

其中，$h(t)$ 为线性时不变系统的冲激响应，$t_i$ 为随机变量，表示第 $i$ 个冲激脉冲出现的时间，称 $\{X(t),t\geq 0\}$ 为过滤 Poisson 过程

其数字特征如下：

$\begin{array}{c} \mu_X(t)=\lambda \int_{0}^{t} h(s) ds \\ \sigma_X(t)= \lambda \int_{0}^{t} h^2(s) ds\\ \varphi(t;u)= exp\big[ \lambda \int_{0}^{t}(e^{juh(s)}-1)ds \big] \\ R_X(t,t+\tau)= \lambda \int_{0}^{t} h(s) h(s+\tau) ds + \lambda^2 \big[\int_{0}^{t}h(s)ds\big]^2 \\ C_X(t,t+\tau)= \lambda \int_{0}^{t} h(s)h(s+\tau)ds \end{array}$