方阵函数及其计算

【方阵函数】

定义

以往定义的函数 $y=f(x)$ 通常是指自变量 $x$ 为实数，因变量 $y$ 为实数的单值映射，将函数的概念进行拓广，定义方阵函数，即自变量与函数值都是方阵的一种特殊函数

设幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kz^k$ 的收敛半径为 $R$，其和函数为 $f(z)$，即

$$f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kz^k,\quad |z|<R$$

那么对 $\forall A\in C^{n\times n},\rho(A)<R$，定义方阵函数

$$f(A)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kA^k,\quad \rho(A)<R$$

从变换的角度来看，方阵函数 $f(A),A\in C^{n\times n}$ 是矩阵空间 $C^{n\times n}$ 到自身的一个非线性变换

对于分块矩阵 $A$ 来说，若 $A=\text{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_m)$，则

$$f(A)=\text{diag}(f(A_1),f(A_2),\cdots,f(A_m))$$

此外，对于任意两个相似矩阵，它们的方阵函数也相似

设 $A,B\in C^{n\times n}$，若 $A\sim B$，则 $f(A)\sim f(B)$，即若存在可逆矩阵 $P\in C^{n\times n}$，使得 $A=PBP^{-1}$，则

$$f(A)=Pf(B)P^{-1}$$

基本初等方阵函数

根据基本初等函数的幂级数展开式，可以得到如下的基本初等方阵函数：

$$\begin{array}{c} e^A=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k, & \rho(A)<+\infty\\ \sin(A) =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}A^{2k+1}, & \rho(A)<+\infty \\ \cos(A)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!}A^{2k}, & \rho(A)<+\infty \\ \ln(I+A)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}A^{k}, & \rho(A)<1 \\ (I-A)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} A^k , & \rho(A)<1\\ (I-A)^{-2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (k+1)A^k ,& \rho(A)<a \end{array}$$

【方阵函数的计算】

Jordan 标准形计算法

设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互异的全部特征值，则存在非奇异矩阵 $P$，使得

$$A=P\text{diag}(J_1,J_2,\cdots,J_s)P^{-1}$$

其中

$$J_i=\text{diag}(J_{i1},J_{i2},\cdots,J_{ir_i}),\quad r_i 为 \lambda_i 的几何重数$$

是相应于 $\lambda_i$ 的子 Jordan 矩阵，$J_{ij}$ 为 Jordan 块

故有

$$\begin{align*} f(A) &= P\text{diag}(f(J_1),f(J_2),\cdots,f(J_s))P^{-1} \\ &= P\text{diag}(f(J_{11}),\cdots,f(J_{1r_{1}}),\cdots,f(J_{s1}),\cdots,f(J_{sr_s}))P^{-1} \end{align*}$$

因此，只需要计算出每个 Jordan 块的函数 $f(J_{ij})$，即可计算出方阵函数 $f(A)$

而对于一个一般的 Jordan 块，其矩阵函数为

$$f(J)=\begin{bmatrix} f(\lambda) & f'(\lambda) & \frac{1}{2!}f''(\lambda) & \cdots & \frac{1}{(r-1)!}f^{(r-1)}(\lambda) \\ & f(\lambda) & f'(\lambda) & \ddots & \vdots \\ & & f(\lambda) & \ddots & \frac{1}{2!}f''(\lambda) \\ & & & \ddots & f'(\lambda) \\ & & & & f(\lambda) \end{bmatrix}$$

待定系数法

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的最小多项式为

$$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}(\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{m_s}$$

那么，通过幂级数来定义的方阵函数 $f(A)$ 可由下列值来确定

$$f(\lambda_i),f'(\lambda_i),f''(\lambda_i),\cdots,f^{m_i-1}(\lambda_i),\quad i=1,2,\cdots,s$$

设 $A\in C^{n\times n}$，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互异的全部特征值，即 $A$ 的谱为

$$S_p(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\}$$

若对函数 $f(\lambda),g(\lambda)$ ，有

$$\left\{\begin{array}{c} f(\lambda_i)=g(\lambda_i) \\ f'(\lambda_i)=g'(\lambda_i) \\ f''(\lambda_i)=g''(\lambda_i)\\ \vdots \\ f^{(m_i-1)}(\lambda_i)=g^{(m_i-1)}(\lambda) \end{array}\right. i=1,2,\cdots,s$$

则称 $f(\lambda)$ 和 $f(\lambda)$ 在 $A$ 的谱 $S_p(A)$ 上是一致的，记为

$$f(S_p(A))=g(S_p(A))$$

那么对于一个固定的方阵 $A$，有

$$f(A)=g(A) \Leftrightarrow f(S_p(A))=g(S_p(A))$$

由于 $m_A(A)=O$，故 $A^k,k\geq m,m=m_1+\cdots+m_s$ 能表为 $I,A,\cdots,A^{m-1}$ 的线性组合，从而函数 $f(A)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_kA^k$ 能表为 $A$ 的次数不大于 $m-1$ 的多项式 $g(A)$

那么，使用待定系数法来求 $g(\lambda)$，令

$$g(\lambda)=a_0+a_1\lambda+a_2\lambda^2+\cdots+a_{m-1}\lambda^{m-1}$$

根据 $f(S_p(A))=g(S_p(A))$ 可确定关于 $a_0,a_1,\cdots,a_{m-1}$ 的 $m_1+\cdots+m_s=m$ 个独立方程，从而可以唯一解出 $a_0,a_1,\cdots,a_{m-1}$，从而求得 $g(\lambda)$，进而有

$$f(A)=g(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_{m-1}A^{m-1}$$