矩阵序列与矩阵级数

【向量序列的极限】

定义

设存在向量序列 $\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_k,\cdots\}\subset V^n$，若 $\exists \mathbf{x} \in V^n$，使得

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} ||\mathbf{x}_k-\mathbf{x}||_a=0$$

则称向量序列 $\{\mathbf{x}_k\}$ 按 a 范数收敛于 $\mathbf{x}$

等价性

根据不同向量范数的等价性，可以得出如下结论：

1. 在 $V^n$ 中，序列 $\{\mathbf{x}_k\}$ 按某种范数收敛于 $\mathbf{x}$，则 $\{\mathbf{x}_k\}$ 按任何范数都收敛于 $\mathbf{x}$
2. 在 $V^n$ 中，序列 $\{\mathbf{x}_k\}$ 按某种范数收敛于 $\mathbf{x}$，等价于 $\{\mathbf{x}_k\}$ 按坐标收敛于 $\mathbf{x}$，即设 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n\}$ 是 $V^n$ 的一个基，令

$$\mathbf{x}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{e}_i,\quad\mathbf{x}_k=\sum_{i=1}^n x_i^{(k)}\mathbf{e}_i$$

则

$$\begin{align*} &\lim_{k\rightarrow +\infty} ||\mathbf{x}_k-\mathbf{x}||_a=0 \\ \Leftrightarrow& \lim_{k\rightarrow +\infty} ||\mathbf{x}_k-\mathbf{x}||_2=0 \\ \Leftrightarrow& \lim_{k\rightarrow +\infty} (\sum_{i=1}^n|x_i^{(k)}-x_i|^2)^{\frac{1}{2}}=0 \\ \Leftrightarrow& \lim_{k\rightarrow +\infty} |x_i^{(k)}-x_i|=0 \\ \end{align*}$$

【矩阵序列的极限】

定义

设 $\{A_k\}\subset C^{m\times n}$ 为一矩阵序列，$A_k$ 的 $(i,j)$ 处的元记为 $(A_k)_{ij}$，若极限

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} (A_k)_{ij}=(A)_{ij}$$

均存在，则称矩阵序列 $\{A_k\}$ 收敛于矩阵 $A$，记为 $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}A_k=A$ 或 $A_k\rightarrow A(k\rightarrow +\infty)$，否则，称矩阵序列 $\{A_k\}$ 是发散的

从定义可知，一个 $m\times n$ 阶的矩阵序列 $\{A_k\}$ 收敛等价于 $mn$ 个数列极限收敛，故若 $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} A_k=A$，$\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}B_k=B$，则

$$\begin{array}{c} \lim\limits_{k\rightarrow +\infty}(\lambda A_k+\mu B_k)=\lambda A+\mu B,\quad \forall \lambda,\mu\in C \\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty}(A_kB_k)=AB \\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} A_k^{-1}=A^{-1} \end{array}$$

等价性

根据不同矩阵范数的等价性，可以得出如下结论：

1）设 $A=[a_{ij}],A_k=[a_{ij}^{(k)}]\in C^{m\times n},k=1,2,\cdots$，则

$$\begin{align*} &\lim_{k\rightarrow +\infty} A_k = A\\ \Leftrightarrow& \lim_{k\rightarrow +\infty} a_{ij}^{(k)}=a_{ij} \\ \Leftrightarrow& \lim_{k\rightarrow +\infty} \max_{1\leq j\leq n} \sum_{i=1}^m |a_{ij}^{(k)}-a_{ij}|\rightarrow0 ,\quad k\rightarrow +\infty \\ \Leftrightarrow& ||A_k-A||_1\rightarrow 0,\quad k\rightarrow +\infty \\ \Leftrightarrow& ||A_k-A||\rightarrow 0,\quad k\rightarrow +\infty\quad (对任一矩阵范数) \\ \end{align*}$$

2）设 $A\in C^{m\times n}$，若 $||A||<1$，则

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} A^k=O$$

3）设 $A\in C^{m\times n}$，有

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} A^k=O \Leftrightarrow \rho(A)<1$$

【矩阵级数】

定义

设 $\{A_k\}\in C^{m\times n}$ 为一矩阵序列，则称

$$A_1+A_2+\cdots+A_k+\cdots$$

为矩阵级数，记为

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k$$

其中，$A_k$ 称为矩阵级数的一般项，称

$$S_k=\sum_{k=1}^k A_i,\quad k=1,2,\cdots$$

为 $\{S_k\}$ 的部分和序列

收敛与发散

若极限 $\lim\limits_{k\rightarrow \infty} S_k=S$ 存在，则称矩阵级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k$ 收敛，称 $S$ 为矩阵级数的和；否则，称矩阵级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k$ 发散

显然，对于矩阵序列 $\{A_k\}\in C^{m\times n}$，有

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k 收敛 \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} (A_k)_{ij} 收敛$$

进一步，若对 $C^{m\times n}$ 上的某种矩阵范数 $||\cdot||$，级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} ||A_k||$ 收敛，则称矩阵级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k$ 绝对收敛，此时，矩阵级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} A_k$ 必收敛

收敛半径

设数值幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_kz^k$ 的收敛半径为 $R$，则方阵幂级数

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_kA^k \left\{\begin{array}{c} 收敛,& \rho(A)<R \\ 不定,& \rho(A)=R\\ 发散,& \rho(A)>R \end{array}\right.$$

其中，$\rho(A)$ 为 $A$ 的谱半径