【概述】

在关系操作中，简单介绍了关系模型中的常用操作和关系查询语言，目前，在关系数据库领域，SQL 是最常用的关系数据语言，其是以关系代数为核心的，本篇将对关系代数进行简单介绍

关系代数是一种抽象的关系数据语言，其通过代数运算方式表示关系查询，所谓代数运算，是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，通过形成表达式以得到预期的运算结果，所以运算对象、运算符、运算结果是代数运算的三大要素

关系代数的运算对象、运算结果都是关系，运算符分为集合运算符、专门的关系运算符两类，关系代数运算符如下表所示

依据运算符的不同，关系代数的运算分为传统的集合运算、专门的关系运算

传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的水平方向（以行的角度）进行；专门的关系运算不仅涉及到行，还涉及到列，在进行运算时，常涉及到比较运算符、逻辑运算符来辅助运算

【传统的集合运算】

传统的集合运算是二目运算，包括：并（Union）、差（Except）、交（Intersection）、笛卡尔积（Cartesian Product）四种运算

设关系 $R$ 和关系 $S$ 具有相同的目 $n$（两个关系都有 $n$ 个属性），且相应属性取自同一域，$t$ 是元组变量，$t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组，据此可以定义并、差、交三种运算

关系 $R$ 与 $S$ 的并仍是 $n$ 目关系，由属于 $R$ 或属于 $S$ 的元组组成，记作：

$R \cup S=\{t|t \in R \vee t \in S\}$

关系 $R$ 与 $S$ 的差仍是 $n$ 目关系，由属于 $R$ 但不属于 $S$ 的元组组成，记作：

$R - S=\{t|t \in R \wedge t \notin S\}$

关系 $R$ 与 $S$ 的交仍是 $n$ 目关系，由既属于 $R$ 又不属于 $S$ 的元组组成，记作：

$R \cap S=\{t|t \in R \wedge t \in S\}$

此外，关系的交可以用关系的差来表示，即：$R \cap S=R-(R-S)$

而关系的笛卡尔积的元素是元组，因此严格来讲其实是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product），关于笛卡尔积详见：点击这里

设 $R$ 为 $n$ 目关系，$S$ 为 $m$ 目关系，有 $t_r \in R，t_s \in S$，关系 $R$ 与关系 $S$ 的笛卡尔积是一个 $n+m$ 列的元组的集合，记作：

$R \times S=\{\overset{\frown }{t_r t_s} | t_r \in R \wedge t_s \in S\}$

其中，$\overset{\frown }{t_r t_s}$ 被称为元组的连接（concatenatoin），是一个 $n+m$ 列的元组，该元组的前 $n$ 列是关系 $R$ 的一个 $n$ 元组，后 $m$ 列是关系 $S$ 的一个 $m$ 元组

同时，在上例中可以看出，若 $R$ 有 $k_1$ 个元组，$S$ 有 $k_2$ 个元组，则关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积有 $k_1*k_2$ 个元组

【专门的关系运算】

引入

专门的关系运算包括选择、投影、连接、除运算等，为了叙述上的方便，引入以下记号：

设关系模式为 $R(A_1,A_2,…,A_n)$，其中的某个关系为 $R$，用 $t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组，$t[A_i]$ 表示元组 $t$ 中相应属性 $A_i$ 的一个分量

若 $A=\{A_{i1},A_{i2},…,A_{ik}\}$ 其中的 $A_{i1},A_{i2},…,A_{ik}$ 是 $A_1,A_2,…,A_n$ 中的一部分，则称 $A$ 为属性列或属性组，用 $\overline{A}$ 表示 $\{A_1,A_2,…,A_n\}$ 中去掉属性组 $A$ 后剩余的属性组，用 $t[A]=(t[A_{i1}],t[A_{i2}],…,t[A_{ik}])$ 表示元组 $t$ 在属性组 $A$ 上诸分量的集合

同时，以下图的学生-课程数据库为例，包括学生关系 Student、课程关系 Course、选修关系 SC，以便对专门的关系运算进行举例

选择

选择（Selection）又称限制，其是在关系 $R$ 中选择满足给定条件的元组组成新的关系，记作：

$\sigma_F(R)=\{t| t \in R \wedge F(t)=true\}$

其中，$F$ 表示选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值 true 或 false，同时，在基本的选择条件上可以进一步的进行逻辑运算（与 $\wedge$、或 $\vee$、非 $\neg$）

逻辑表达式 $F$ 的基本形式为 $X_1 \theta Y_1$，其中 $\theta$ 代表比较运算符（$>,<, \geq ,\leq ,\neq ,=$），$X_1$ 和 $Y_1$ 可代表属性名（也可用其序号代替）、常量、简单函数

综上所述，选择运算实际上是从关系 $R$ 中选取使逻辑表达式 $F$ 为 true 的元组，是从行角度进行的运算

例如，查询信息系（IS 系）全体学生：$\sigma_{Sdept=’IS\:’}(Student)$，结果如下

再例如，查询年龄大于等于 20 岁的男学生：$\sigma_{Sage\geq 20 \wedge Ssex=’男\:’}(Student)$，结果如下

投影

投影（Projection）是在关系 $R$ 上选择若干属性列组成新的关系，记作：

$\Pi_A(R)=\{t[A] | t \in R\}$

其中，$A$ 为 $R$ 中的属性列

投影操作是对列进行运算的，但值得注意的是，投影后不仅取消了原关系中的某些列，而且可能取消某些元组，因为取消了某些列后，可能会出现重复的行，此时应该对完全相同行去重

例如，查询所有学生的姓名和年龄：$\Pi_{Sname,Sage}(Student)$，结果如下

再例如，查询学号为 95001 号学生所选修的课程号：$\Pi_{Cno}(\sigma_{Sno=95001(SC)})$，结果如下

连接

定义

连接（Join）也称 $\theta$ 连接，是从两个关系 $R$ 与 $S$ 的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组组成新的关系，记作：

$R \underset{A\theta B}{\bowtie} S=\{\overset{\frown }{t_r t_s} | t_r \in R \wedge t_s \in S \wedge t_r[A] \: \theta \: t_s[B]\}$

其中，$A$ 和 $B$ 分别为关系 $R$ 和 $S$ 上目（列数）相等且可比的属性组，$\theta$ 为比较运算符

该运算式实质为：在 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积 $R \times S$ 中选取 $R$ 关系在 $A$ 属性组上的值与 $S$ 关系在 $B$ 属性组上的值满足比较关系 $\theta$ 的元组

等值连接与自然连接

连接运算中最常用的连接有两种，一种是等值连接（Equijion），另一种是自然连接（Natural join），除这两种连接外的所有连接，都称为非等值连接

等值连接是指当比较运算符 $\theta$ 为 $=$ 时的连接运算，其是从关系 $R$ 和 $S$ 的笛卡尔积中选取 $A$、$B$ 属性组的属性值相等的元组组成新的关系，即：

$R \underset{A=B}{\bowtie} S=\{\overset{\frown }{t_r t_s} | t_r \in R \wedge t_s \in S \wedge t_r[A] = t_s[B]\}$

例如，学生关系 Student 和选修关系 SC 的学号属性 Sno 的等值连接 $Student \underset{Student.Sno=Sc.Sno}{\bowtie} SC$，结果如下

自然连接是一种特殊的等值连接，其要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中将重复的属性列去掉，即：

$R \bowtie S=\{\overset{\frown }{t_r t_s} [U-A] | t_r \in R \wedge t_s \in S \wedge t_r[A] = t_s[A]\}$

其中，$U$ 为关系 $R$ 和 $S$ 的全体属性的集合

可以发现，一般的连接操作是从行的角度进行运算，而自然连接由于要取消重复列，其是同时从行和列的角度进行运算

此外，值得注意的是，当 $R$ 与 $S$ 无相同属性时，$R\bowtie S=R\times S$

例如，学生关系 Student 和选修关系 SC 作自然连接 $Student \bowtie SC$，结果如下

悬浮元组与外连接

当两个关系 $R$ 与 $S$ 作自然连接时，选择两个关系在公共属性上值相等的元组构成新的关系，此时，关系 $R$ 中某些元组可能在 $S$ 中不存在公共属性值相等的元组，使得 $R$ 中这些元组在操作时被舍弃了，同样，$S$ 中的某些元组也可能被舍弃，这些被舍弃的元组称为悬浮元组（Dangling tuple）

例如，对学生关系 Student 和选修关系 SC 的自然连接 $Student \bowtie SC$ 中，学生关系 Student 的第 3 个、第 4 个元组，选修关系的第 5 个元组，就是悬浮元组

如果把悬浮元组也保存在结果关系中，在其他属性上填上空值（NULL），那么这种连接就叫外连接（Outer join），记作：$R \Join S$

例如，学生关系 Student 和选修关系 SC 的外连接 $Student \bowtie SC$，结果如下