【符号表达式的创建】

在创建符号表达式时，分为两种情况：

对于带等号的符号表达式，称为符号方程，利用 sym 创建
对于不带等号的符号表达式，称为符号函数，利用 syms 创建

% 符号方程
>> syms x
>> e=sym(x^2+2*x==-1)
e =
    x^2 + 2*x == -1

% 符号函数
>> syms a b c x
>> f=a*x^3+b*x^2+c*x
f =
    a*x^3 + b*x^2 + c*x

【符号表达式的显示】

在 matlab 中，采用默认的计算机方式对符号表达式进行表达，为了更直观的显示，可以利用 pretty() 函数来将符号表达式显示为符合数学习惯的数学表达式

>> syms a b c d e x
>> f=sym(5*a^3+3*b*x^5/c+7*c*x-x^e)
f =
    7*c*x - x^e + 5*a^3 + (3*b*x^5)/c
>> pretty(f)
                         5
         e      3   3 b x
7 c x - x  + 5 a  + ------
                      c

【符号表达式的展开与合并】

对于符号表达式，可以利用 expand() 函数将其展开：

expand(S)：将符号表达式 S 中的各项进行展开，若包含超越函数，则利用恒等变形的方法将他们展开，S 可为符号表达式矩阵

>> syms x
>> f=sym(x^2+(x-1)^2)
f = 
    (x - 1)^2 + x^2
>> expand(f)
ans = 
    2*x^2 - 2*x + 1

对于符号表达式，可以利用 collect() 函数将同类项进行合并：

collect(S)：将符号表达式 S 中的默认变量的相同幂次的项进行合并，S 可为符号表达式矩阵，默认变量由 symvar() 获得
collect(S,var)：将符号表达式 S 中 var 的相同次幂的项进行合并，S 可为符号表达式矩阵

>> syms x y z
>> f=sym((x^2+y*z+z^2)*x+z)
f =
    z + x*(x^2 + z^2 + y*z)
>> collect(f)
ans =
    x^3 + (z^2 + y*z)*x + z
>> collect(f,z)
ans =
    x*z^2 + (x*y + 1)*z + x^3

【符号表达式的嵌套与分解】

对于符号表达式，可以利用 horner() 函数将其转为嵌套的形式：

horner(S)：将符号表达式 S 转换为嵌套的形式，S 可为符号表达式矩阵

>> syms x
>> f=sym(x^3+6*x^2+3*x+1)
f =
    x^3 + 6*x^2 + 3*x + 1
>> horner(f)
ans =
    x*(x*(x + 6) + 3) + 1

对于符号表达式，可以利用 factor() 函数将其进行因式分解：

factor(S)：符号表达式 S 是多项式，会返回该多项式的因子组成的行向量，若 S 不能分解为有理多项式乘积的形式，则会返回 S 本身，S 可为符号表达式矩阵或一个数

>> syms x y
>> f= x*y + 2*x + y + 2
f =
    2*x + y + x*y + 2
>> factor(f)
ans =
    [ y + 2, x + 1]
	
>> factor(231321216546545)
ans =
    5    271    17183    9935213
    
>> f= x*y + 2*x + y*5 + 2
f =
    2*x + 5*y + x*y + 2
>> factor(f)
ans =
     2*x + 5*y + x*y + 2

【符号表达式的简化】

matlab 会根据一定的规则对符号表达式进行简化，简化的函数有：

simplify(S)：依照 Maple 化简规则简化，S 可为符号表达式矩阵

【符号表达式的替换】

matlab 中提供了符号表达式变量代换的函数，以便利用换元法简化模型。

R=subs(S)：用工作区中的变量值替代符号表达式 S 中的所有符号变量，S 可以是符号表达式矩阵

>> syms x y
>> f=sym(x^2+x*y+x)
f =
    x + x*y + x^2
>> a=sym(2)
a = 2
>> x=a
x = 2
>> subs(f)
ans = 
    2*y + 6

>> syms t
>> x=1/t
x = 1/t
>> subs(f)
ans =
    y/t + 1/t + 1/t^2

R=subs(S,New)：用新符号变量 New 来替代符号表达式 S 中的默认变量，默认变量由 symvar() 获得，S 可以是符号表达式矩阵

>> f
f =
    x + x*y + x^2
>> subs(f,1/t)
ans = 
    y/t + 1/t + 1/t^2

R=subs(S,Old,New)：用新符号变量 New 来替代符号表达式 S 中的变量 Old，S 可以是符号表达式矩阵

>> f
f =
    x + x*y + x^2
>> subs(f,y,1/t)
ans =
    x + x/t + x^2

subexpr(S)：自动寻找符号表达式中重复出现的字符串，将其替换为 sigma，之后返回 sigma 和替换完毕后的符号表达式

>> syms x y
>> f=sym((1*x+2*x^2+3*x^3+4*x^4)*y+(1*x+2*x^2+3*x^3+4*x^4)*y^2+(1*x+2*x^2+3*x^3+4*x^4)*y^3)
f =
    (4*x^4 + 3*x^3 + 2*x^2 + x)*y^3 + (4*x^4 + 3*x^3 + 2*x^2 + x)*y^2 + (4*x^4 + 3*x^3 + 2*x^2 + x)*y
 
>> subexpr(f)
sigma = 
    4*x^4 + 3*x^3 + 2*x^2 + x
ans = 
    sigma*y^3 + sigma*y^2 + sigma*y

【符号表达式的复合函数与反函数】

在数学上，存在复合函数的概念，matlab 中也提供了相应的函数：

compose(f,g)：返回 f=f(x) 与 g=g(y) 的复合 f(g(y))，x、y 是 symvar() 给出的默认符号变量
compose(f,g,'t')：返回 f=f(x) 与 g=g(y) 的复合 f(g(y))，并将自变量改为 t

>> syms x y
>> f=sym(2*x+1)
f = 
    2*x + 1
>> g=sym(y^2)
g = 
    y^2

>> compose(f,g)
ans = 
    2*y^2 + 1
>> compose(g,f)
ans = 
    (2*x+1)^2

>> syms t
>> compose(f,g,t)
ans = 
    2*t^2 + 1

在数学上，存在反函数的概念，matlab 中也提供了相应的函数：

finverse(f)：返回 f 的反函数，自变量为 symvar() 给出的默认符号变量
finverse(f,y)：返回 f 的反函数，自变量为 y，要求 f 中不止一个变量

>> syms x y
>> y=2*x+1
y = 
    2*x + 1
>> finverse(y)
ans = 
    x/2 - 1/2

>> syms x y f
>> f=x^2+1+y^2+2*x*y
f = 
    x^2 + 2*x*y + y^2 + 1
>> finverse(f,y)
ans = 
    (y - 1)^(1/2) - x
>> finverse(f,x)
ans = 
    (x - 1)^(1/2) - y

Alex_McAvoy

Matlab 符号表达式