【矩阵与数组】

矩阵与数组的区别：

数学概念：矩阵
计算机概念：数组

矩阵与数组的联系：matlab 中，矩阵是以数组形式体现的

【矩阵构造】

基本构造

利用：[] , ; 来构造

>> [1,2,3] % 行向量
ans =
     1     2     3

>> [1;2;3] % 列向量
ans = 
     1
     2
     3

>> [1,2,3;4,5,6;7,8,9] % 矩阵
ans = 
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> [] % 空矩阵
ans =
     []

特殊矩阵

全 1 矩阵与全 0 矩阵

ones(n)：构造一个 n*n 的全 1 矩阵
zeros(n)：构造一个 n*n 的全 0 矩阵
ones(n,m)：构造一个 n*m 的全 1 矩阵
zeros(n,m)：构造一个 n*m 的全 0 矩阵
ones(n,m,...,p)：构造一个 n*m*…*p 的全 1 矩阵
zeros(n,m,...,p)：构造一个 n*m*…*p 的全 0 矩阵
ones(size(A))：构造一个与矩阵 A 相同大小的全 1 矩阵
zeres(size(A))：构造一个与矩阵 A 相同大小的全 0 矩阵

单位矩阵

eye(n)：构造一个 n*n 的单位矩阵
eye(n,m)：构造一个 n*m 的单位矩阵（前 n 行 n 列是一个单位矩阵，后面的 m-n 列全是0）
eye(size(A))：构造一个与 A 相同大小的单位矩阵

>> eye(3,7)
ans =
     1     0     0     0     0     0     0
     0     1     0     0     0     0     0
     0     0     1     0     0     0     0

上三角矩阵与下三角矩阵

triu(A)：A 的上三角矩阵
tril(A)：A 的下三角矩阵
triu(A,k)：以第 k 条对角线为轴的 A 的上三角矩阵，k 可取负数
triu(A,k)：以第 k 条对角线为轴的 A 的下三角矩阵，k 可取负数

对角矩阵

diag(A)
- A 为矩阵时，获取该矩阵的主对角线，返回以列向量的形式
- A 为向量时，构造一个以该向量为主对角线的对角矩阵
diag(A,k)：
- A 为矩阵时，获取该矩阵的第 k 条对角线，返回以列向量的形式，k 可取负数
- A 为向量时，构造一个以该向量为第 k 条对角线的对角矩阵，k 可取负数

块对角矩阵

blkdiag(A,B,C...)：将 A、B、C… 依次合并，构造一个块对角矩阵

>> A=ones(2);
>> B=ones(3);
>> C=ones(4);
>> blkdiag(A,B,C)
ans =
     1     1     0     0     0     0     0     0     0
     1     1     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     1     1     1     0     0     0     0
     0     0     1     1     1     0     0     0     0
     0     0     1     1     1     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     1     1     1     1
     0     0     0     0     0     1     1     1     1
     0     0     0     0     0     1     1     1     1
     0     0     0     0     0     1     1     1     1

【矩阵信息】

矩阵结构

isempty(A)：检查 A 是否为空矩阵
issparse(A)：检查 A 是否为稀疏矩阵
isvector(A)：检查 A 是否为向量
isscalar(A)：检查 A 是否为标量

矩阵维度

size(A)：获取 A 的各维度长度
length(A)：获取 A 的最长维度
numel(A)：获取 A 的元素个数

【矩阵访问】

双索引(数学形式)

连续访问：

基本形式：A(i:j,p:q) 从第 i 行到第 j 行，从第 p 列到第 q 列，访问组成范围内的所有元素，并生成一个新的矩阵
考虑步长：A(i:step1:j,p:step2:q) 从第 i 行到第 j 行，每次步长为 step1 的所有行，从第 p 列到第 q 列，每次步长为 step2 的所有列，访问组成范围内的所有元素，并生成一个新的矩阵
注意事项：
- 行范围或列范围可以省略不写，例如：要访问 A 的第 2 列到第 4 列，可以写为 A(:,2:4)
- 由于步长可以为负，因此当步长为负时，用 end 来表示最后一个元素，例如：要将 A 进行翻转时，可以写为 A(end:-1:1)

选取访问：

基本形式：A([row1 row2 ...],[col1 col2 ...]) 选取由 row1、row2、… 这些行，与由 col1、col2、… 这些列组成范围内的所有元素，生成一个新的矩阵
与连续访问组合使用：
- 行组合：A([row1 row2 ...],p:q)
- 列组合：A(i:j,[col1 col2 ...])

单索引(计算机存储形式)

在 matlab 中，矩阵是以数组来体现的，而数组在内存中以列优先的形式存储。

因此，要想访问矩阵中的某个元素，可以按列优先的形式，将该元素的双索引转为单索引，再进行访问。

例如：对于一个 3*3 的矩阵 A，要访问 A 中的第 2 行第 3 列的元素时，其双索引形式是 A(2,3)，其单索引形式为 A(8)

双索引	A(1,1)	A(2,1)	A(3,1)	A(1,2)	A(2,2)	A(3,2)	A(3,1)	A(3,2)	A(3,3)
单索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9

A(:)：将矩阵按列优先的方式，组织成列向量
A(i:j)：选取单索引从 i 到 j 的元素组织成行向量
A(i:step:j)：选取单索引从 i 到 j 步长为 step 的元素组织成行向量
A([ele1 ele2 ...])：选取单索引为 ele1、ele2、… 的元素组织成行向量

单双索引转换

双索引转单索引：ind=sub2ind(size(A),row,col)
单索引转双索引：[row col]=ind2sub(size(A),index)

【矩阵基本操作】

元素赋值：访问要赋值的元素，利用 = 赋值
删除矩阵：A=[] 将矩阵 A 整体赋值为空矩阵 []
删除矩阵某个元素：访问要删除的元素，将其赋值为空矩阵 []
矩阵合并：
- 按行合并（竖直方向）：vertcat(A,B) 、cat(1,A,B) 两者等价
- 按列合并（水平方向）：horzcat(A,B) 、cat(2,A,B) 两者等价
复制构造：repmat(A,i,j) 将矩阵 A 水平复制 i 个，竖直复制 j 个，生成一个新的矩阵

【矩阵基本运算】

加减操作(+、-)

要求：维度相同，均为 n*m
运算规则：
- 无标量：对应元素逐个加减
- 有标量：各元素逐个加减标量
运算律：
- 交换律：A+B=B+A
- 结合律：A+（B+C）=（A+B）+C
零元运算：A+0=0+A=A

乘法运算(*)

标量与矩阵：各元素逐个乘标量
矩阵与矩阵：
- 要求：m*n 与 n*p 得到 m*p
- 结果：A 中的第 i 行乘以 B 中的第 j 列得到 C 中的第（i，j）个元素
- 运算律:
  - 分配律：A*（B+C）=A*B+A*C
  - 结合律：A*（B*C）=（A*B）*C
  - 存在性：A*E=E*A=A

除法运算(/、\)

说明：矩阵没有除法，对于 A/B，其本质是对矩阵 A 求逆然后乘以 B
运算符区别：
- 左除：A/B 时，要求 A、B 列数相同
- 右除：A\B时，要求 A、B 行数相同

幂运算(^)

要求：矩阵是一个方阵
本质：$A^n=A*A*…*A$（n 个 A 相乘）
运算符：$A^n$，A 是一个方阵，n 是一个标量

【矩阵运算与数组运算的对比】

加减操作

运算符：+、-
运算结果：数组、矩阵运算结果相同

乘法运算

标量与数组：.*、*作用相同，均是各元素逐个乘以标量
数组与数组：
- .*：两数组中对应元素相乘
- *：即矩阵乘法

扩展：两矩阵 A、B 的点积为 dot(A,B) 或 sum(A.*B)

除法运算

./与.\：
- 标量与数组：对数组中的元素逐个进行操作
- 数组与数组：对两数组中对应元素进行操作，要求两数组维度一致
/与\：
- 标量与数组：
  - 标量为除数：与 ./与.\一致
  - 标量为除数：对数组中元素逐个进行操作
- 数组与数组：即矩阵除法

幂运算

.^：
- 标量与数组：对数组中的每个元素进行操作
- 数组与数组：对两数组中对应元素进行操作，要求两数组维度一致
^：即矩阵的幂运算

Alex_McAvoy

Matlab 矩阵基础操作