【线性空间】

数域

线性空间是近代数学最重要的基本概念之一，在引入线性空间的概念前，首先给出数域的概念

设 $F$ 是一个包含 $0,1$ 的数集，且若 $F$ 中的任两个数的和、差、积、商仍在 $F$ 中，即 $F$ 对这些运算封闭，则称 $F$ 为一个数域

线性空间

设集合 $V=\varnothing$，$F$ 是一数域，在 $V$ 上定义加法运算，即 $\forall \alpha,\beta\in V$，存在唯一的 $\boldsymbol{\gamma}\in V$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，并记为 $\gamma=\alpha+\beta$，且这种加法运算满足以下四条法则：

向量加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$
向量加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
向量加法单位元：$\exists \mathbf{0}\in V$，使得 $\forall \alpha\in V$，有 $\alpha+\mathbf{0}=\alpha$
向量加法逆元：$\forall \alpha\in V$，存在负元 $\beta\in V$，使得 $\alpha+\beta=\mathbf{0}$，记为 $\beta=-\alpha$

在集合 $V$ 和数域 $F$ 间，还定义一种数乘运算，即 $\forall k\in F,\alpha\in V$，存在唯一的 $\eta\in V$ 与之对应，称为 $k$ 与 $\alpha$ 的数乘，记为 $\eta=k\alpha$，且这种数乘运算满足以下四条法则：

标量乘法单位元：$1\cdot \alpha=\alpha$
标量乘法与域乘法兼容性：$k(l\alpha)=(kl)\alpha$
标量乘法对向量加法分配律：$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
标量乘法对域加法分配律：$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

称定义加法运算合数乘运算且满足上述八条法则的集合 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间，称 $V$ 中的元为向量，且当 $F$ 为实数域时，称 $V$ 为实线性空间，当 $F$ 为复数域时，称 $V$ 为复线性空间

【线性相关与线性无关】

为刻画线性空间中向量的关系，引入线性表出、线性相关、线性无关的概念

设 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 为线性空间 $V$ 中的向量组，若向量

$\boldsymbol{\beta}=k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m$

则称 $\beta$ 为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 的线性组合，亦称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性表出

若 $k_1,\cdots,k_m$ 不全为 $0$，使得

$\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i=\mathbf{0}$

则称向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性相关

若

$\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i=\mathbf{0}\Rightarrow k_1=\cdots=k_m=0$

则称向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关

由上述定义可知，若线性空间 $V$ 中的向量组向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关，且向量组 $\{\beta,\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 唯一地线性表出

【基与坐标】

为了对线性空间中的向量进行描述，给出基、坐标、维数的定义

设在数域 $F$ 上线性空间 $V$ 有 $n$ 个线性无关的向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，且 $V$ 中

且 $V$ 中任一向量 $\alpha$ 都可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性表出

$\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n$

则称 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 为 $V$ 的一组基，称 $\mathbf{k}= [k_1,\cdots,k_n]^T$ 为 $\alpha$ 在基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 下的坐标

此时，称 $V$ 为 $n$ 维线性空间，记维数 $\text{dim}V=n$，若对任意正整数 $N$，$V$ 中都存在 $N$ 个线性无关向量，则称 $V$ 是无限维线性空间

由于线性空间 $V$ 中的向量组向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关，且向量组 $\{\beta,\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 唯一地线性表出

易知，向量 $\alpha$ 在基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 下的坐标是唯一的

那么，在给定基的情况下，$n$ 维线性空间 $V^{n}$ 中的向量 $\alpha$ 与 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中的坐标向量 $\mathbf{k}$ 是一一对应的，从而使得对 $V^{n}$ 中的向量的研究可转换为对 $\mathbb{R}^{n}$ 中的坐标向量 $\mathbf{k}$ 的研究

一般将 $\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n$ 写为

$\boldsymbol{\alpha} = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix} \mathbf{k}$

【坐标变换公式】

过渡矩阵

同一向量在不同基下的坐标一般是不同的，考虑两个基之间的变换关系

设 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 和 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 是 $V$ 中的两组基，则有

$\beta_i=p_{1i}\alpha_1+p_{2i}\alpha_2+\cdots+p_{ni}\alpha_n = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{1i} \\ p_{1i} \\ \vdots \\ p_{ni} \end{bmatrix},\quad i=1,2,\cdots,n$

将这 $n$ 个关系式用矩阵记号来表示

$\begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \\ \end{bmatrix}$

称 $n$ 阶方阵

$P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \\ \end{bmatrix}$

为基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 到基 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 的过渡矩阵（基变换矩阵），即有

$\begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}P$

过渡矩阵必是可逆阵，那么上式可写为

$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{bmatrix}P^{-1}$

$P^{-1}$ 即为基 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 到基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 的过渡矩阵

坐标变换公式

坐标变换公式用于将一个向量 $\xi$ 在基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 下的坐标 $\mathbf{x}$，转换为在基 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 下的坐标 $\mathbf{y}$

设向量 $\xi$ 在基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 下的坐标为 $\mathbf{x}$，在基 $\{\beta_1,\cdots,\beta_n\}$ 下的坐标为 $\mathbf{y}$，即

$\xi = \begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \mathbf{x}= \begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix} \mathbf{y}$

由于 $\begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}P$，故

$\xi = \begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} \mathbf{x}= \begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n\end{bmatrix} \mathbf{y}=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} P\mathbf{y}$

从而有

$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{bmatrix} (\mathbf{x}-P\mathbf{y})=\mathbf{0}$

由于 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 是一组基，线性无关，故有

$\begin{align*} \mathbf{x}&=P\mathbf{y} \\ \mathbf{y}&=P^{-1}\mathbf{x} \end{align*}$

【线性子空间】

子空间

在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中，过原点的共面向量集，按通常的向量加法和数乘运算可以构成一个向量空间，类似地，过原点的共线向量集也可构成一向量空间，这些向量空间都可以看作是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，由此，在一般 $n$ 维线性空间中，也可引进子空间的概念

设 $W$ 为线性空间 $V$ 的一非空子集，如果 $W$ 中的元满足：

加法封闭性：$\forall \alpha,\beta\in W$，有 $\alpha+\beta\in W$
数乘封闭性：$\forall \alpha \in W,k\in F$，有 $k\alpha\in W$

则 $W$ 为数域 $F$ 上的线性空间，称 $W$ 为 $V$ 的子空间，记为 $W\subset V$

由于子空间 $W$ 中不可能有比 $V$ 更多的线性无关的向量，所以子空间 $W$ 的维数不能超过 $V$ 的维数，即 $\text{dim} W\leq \text{dim}V$

若 $W$ 为线性空间 $V^n$ 的子空间，$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 为 $W$ 的一组基，则可将其扩充为 $V^n$ 的一组基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\cdots,\alpha_n\}$，这被称为基的扩张

交与和

设 $W_1,W_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，则称

$\begin{align*} W_1\cap W_2 &\triangleq \{\alpha\in V|\alpha\in W_1,\alpha \in W_2\} \\ W_1+W_2 &\triangleq \{\alpha\in V|\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha\in W_1,\alpha \in W_2\} \end{align*}$

为 $W_1$ 与 $W_2$ 的交与和

若 $W_1=\text{span}\{ \alpha_1,\cdots,\alpha_r\}$，$W_2=\text{span}\{\beta_1,\cdots,\beta_s\}$，则

$W_1+W_2=\text{span}\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_s\}$

对于子空间 $W_1$ 和 $W_2$，有维数公式

$\text{dim}(W_1+W_2)+\text{dim}(W_1\cap W_2)=\text{dim}W_1+\text{dim}W_2$

直和

若 $W_1+W_2$ 中的任一向量只能唯一地分解为 $W_1$ 中的一个向量与 $W_2$ 中的一个向量之和，则称 $W_1+W_2$ 为 $W_1$ 与 $W_2$ 的直和，记为 $W_1\oplus W_2$

$W_1+W_2=W_1\oplus W_2$ 的充要条件是下列等价条件之一成立：

$W_1\cap W_2=\{\mathbf{0}\}$
若 $\xi_1+\xi_2=\mathbf{0},\xi_i\in W_i,i=1,2$，则 $\xi_1=\xi_2=\mathbf{0}$
$\text{dim}(W_1+W_2)=\text{dim}W_1+\text{dim}W_2$

直和的概念可类似地推广到有限多个情形：

$W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_s\triangleq\bigoplus\limits_{i=1}^s W_i$

上述公式被称为空间的直和分解，通过将问题挪若干子空间研究，最后再进行合并