常见统计量

【统计量】

样本是进行统计推断的依据，在实际应用中，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，是来自总体 $X$ 的一个样本，$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 是 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的函数，若 $g$ 中不含未知参数，则称 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 是一统计量

因为 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 都是随机变量，而统计量 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n) $ 是随机变量的函数，因此统计量是一个随机变量

设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是相应于样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的样本值，则称 $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是 $g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的观察值

【常用统计量】

样本平均值

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，那么有：

$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

其观察值为：

$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$

样本方差

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，那么有：

$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^n X_i^2 -n\overline{X}^2)$$

其观察值为：

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^n x_i^2 -n\overline{x}^2)$$

样本标准差

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，那么有：

$$S=\sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}$$

其观测值为：

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$$

样本 $k$ 阶（原点）矩

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，那么有：

$$A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k,\quad k=1,2,\cdots$$

其观察值为：

$$a_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k,\quad k=1,2,\cdots$$

样本 $k$ 阶中心矩

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，那么有：

$$B_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^k,\quad k=2,3,\cdots$$

其观察值为：

$$b_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^k,\quad k=1,2,\cdots$$

经验分布函数

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $F$ 的一个样本，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是这一样本的观察值，用 $S(x),-\infty<x<+\infty$ 表示 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 中不大于 $x$ 的随机变量的个数，那么有：

$$F_n(x) = \frac{1}{n}S(x),\quad -\infty<x<+\infty$$

对于一个样本值，经验分布函数 $F_n(x)$ 的观察值仍以 $F_n(x)$ 表示

一般会将 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 按升序排序，并重新编号 $x_{(1)}\leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}$，则经验分布函数 $F_n(x)$ 的观察值为：

$$F_n(x)=\left\{\begin{array}{aa} 0, & x<x_{(1)} \\ \frac{k}{n}, & x_{(k)}\leq x<x_{(k+1)} \\ 1, & x\geq x_{(n)} \end{array}\right.$$

对于经验分布函数，Glivenko 证明了：对任一实数 $x$，当 $n\rightarrow \infty$ 时，$F_n(x)$ 以概率 $1$ 一致收敛于分布函数 $F(x)$，即

$$P\{ \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{-\infty<x<+\infty} |F_n(x)-F(x)|=0 \} = 1$$

因此，对任一实数 $x$，当 $n$ 充分大时，经验分布函数的任一观察值 $F_n(x)$ 与总体分布函数 $F(x)$ 只有微小的差别，从而在实际当作 $F(x)$ 使用